20 J. N. Noël. — De VJnalogie en Géométrie. 



On peut toujours supposer que les lignes ou les plans parallèles à la 

 base 6 divisent G en tranches , toutes de même épaiseur très-petite; et 

 comme G est la somme de ces tranches , il est clair , à cause de l'ana- 

 logie complète, que si l'on sait calculer cette somme pour une valeur 

 particulière de \n , on saura la calculer pour une valeur quelconque. 

 De plus la grandeur G est déterminée complètement dès que la base 

 6 et la hauteur /; étant données , de valeur et de position , on connaît 

 l'exposant m ■ de sorte que h, h et m sont les éléments générateurs 

 de G. Or, pour le triangle , où m = 1 , on a 



^ — lhh=hh :^ = bh: (l -\- Vj=bh : [i + m). 



Pour le parallélipipède rectangle , où m = , on sait que 



G = 6 h^b /i : (1 +0) r= 6 /t : (1 +»»), 



Et puisque les valeurs particulières de m ne sauraient changer au- 

 cunement le rôle que m joue dans la formule , expression de G , il 

 s'ensuit que , quel que soit m , entier ou fractionnaire , on aura 

 toujours 



G = 6ft-:(1 -f m). 



1° Cette formule , qu'on démontre aussi , moins simplement , par la 

 méthode infinitésimale, fournit les théorèmes connus sur le mesurage 

 des volumes de tous les cylindres et de tous les cônes , aussi bien que 

 sur les surfaces latérales des cylindres , droits et obliques , et des 

 cônes droits. 



2° Pour le segment G dans la parabole y ■= a a", où b = '^ y et/t = 

 a; sin ô , en désignant par 6 l'angle entre les axes des x et des y, on a 



G = 2x î/ sin fl : (1 -\-in). 



De sorte que, dans la parabole ordinaire, représentée par y" =1px 

 et où l'exposant m vaut | , le segment G , dont 2 y est la corde don- 

 née, est les deux tiers du parallélogramme circonscrit, et l'on a G== 

 ixî/sino. 



5° Les coordonnées étant rectangulaires et G désignant le volume 

 du segment , depuis x= o jusqu'à x = h , dans le paraboloïde elliptique 

 My^-\-^z- = Kx, on trouve m ^ 1 et 



G = i^/t2R : l/(MN); 



c'est le demi-cylindre, de hauteur h et de base elliptique. Si donc/(=4 

 etif + ^z-—ï6x,i\ vient G =: 128 ^ ^Z |. 

 4° Pour le paraboloïde de révolution autour de l'axe des y, dans»/". 



