La Similitude. 28 



Cette dénomination vient surtout de ce que P' et P" sont deux par- 

 ties symétriques d'un même quatrième polyèdre , dont est le cetitre 

 de symétrie, comme divisant en deux parties égales toute droite, 

 telle que A' A", terminée de part et d'autre à la surface de ce quatrième 

 polyèdre. 



On voit , par les constructions précédentes , que les tétraèdres ho- 

 mologues , dans P, P', P", sont directement semblables pour P et P', 

 inversement semblables pour P et P", et enfin symétriques pour P'et P". 



Le point 0, qui sert à construire deux des trois polyèdres au moyen 

 de l'autre , est dit pôle de similitiide directe de P et de P', pôle de simili- 

 tude inverse de P et de P", et ce7itre de symétrie de P' et de P". 



Réciproquement, deux polyèdres semblables ou inversement semblables 

 P et O peuvent toujours se disposer de manière à avoir un pôle O. Car si 

 en construisant, avec la polyèdre P et le pôle donné 0, le polyèdre 

 P', on prend le rapport r égal à celui de deux droites homologues de 

 P et de Q ; il est clair que toutes les parties homologues dans P' et Q, 

 seront égales entre elles et disposées dans le même ordre , en passant 

 de Q à P'; donc ces deux polyèdres sont égaux , et P' n'est que la po- 

 lyèdre Q, mis dans la position demandée. 



V. Soient P et P' deux polyèdres , directement ou inversement 

 semblables , ayant un pôle O ; soient C et C les cubes faits sur deux 

 droites homologues o et a' de ces polyèdres : puisque est aussi le 

 pôle des cubes C et C, il est évident que C se construit au moyen de 

 C absolument comme P' se trouve au moyen de P. Si donc P' == P /* , 

 on aura aussi C = C h ; d'où 



P:P'=.C: C' = (a: a')^ 



Les deux corps P et P' pourraient être limités par des surfaces 

 mixtes ou courbes; mais alors, pourles faire rentrer dans les définitions 

 des polyèdres semblables, directement ou inversement, il faudrait, 

 ce qui est permis , considérer ces deux corps comme deux polyèdres 

 terminés par un même nombre infini de faces homologues, infiniment pe- 

 tites et par suite plan -s , semblables chacune à chacune , comprenant des 

 coins homologues égaux , semblablement ou inversement disposés. On au- 

 rait toujours P = P' (a : a' )^ ; ce qui donne le moyen de calculer la 

 valeur numérique de P, lorsque la mesure de P' et le rapport a: a' 

 sont donnés. 



On voit l'importance du théorème proposé, pour mesurer le corps 

 P,dont une ou plusieurs parties seraient ou inaccessibles ou invisibles: 

 il faudrait copier P et mesurer la copie P'. 



Les deux corps inversement semblables P et P' deviennent symé- 

 triques et équivalents ent)e eux , bien que toujours inégaux, dès que 



