2(î J. IN. Noël. — De rjnalogie en Géométrie. 



a=^a'; car aloi's P : V\^l. Ils deviendraient absolument égaux , 

 pour a = a\ s'ils étaient directement semblables. Et quant aux sur- 

 faces S et S' des deux corps semblables, directement ou inversement, 

 on démontre , comme plus haut, que 



S : S' = [a '.a' y. 



VI. La coexistence de toutes les conditions de similitude , directe 

 ou inverse , dans les polyèdres , ne saurait être douteuse , d'après 

 la construction de ces polyèdres ; mais plusieurs de ces conditions 

 sont conséquences des autres et par suite superflues. Le nombre de 

 conditions , nécessaires et suffisantes , à la similitude directe ou à la si- 

 militude inverse de deux polyèdres , à leur égalité ou à leur symétrie , 

 est fourni par le théorème que voici : 



Dans deux polyèdres de n faces chacun, la proportionnalité des faces ho- 

 mologues, ayant un même nombre de côtés , entraine l'égalité des coins 

 qui se correspondent. 



Soient F et F' deux faces homologues, d'un même nombre de côtés; 

 soient S et S' les sommes des faces adjacentes à F et à F': par hypo- 

 thèse on a 



S : S' = F : F' ; d'où S =- Fr et S' = F'r, 

 r étant un rapport exprimable on non. Or, d'après la propriété essen- 

 tielle de ce rapport , on voit que S s'obtient avec F absolument comme 

 S' se trouve avec F'; il faut donc , pour cela , que les coins adjacents à 

 F soient respectivement égaux aux coins adjacents à F'. Ainsi les deux 

 polyèdres ont les coins homologues égaux; ce qu'il fallait démontrer. 



La proposition réciproque existe; et par exemple, dans deux 

 tétraèdres , si les trois coins adjacents à la base de l'un sont respecti- 

 vement égaux aux trois coins adjacents à la base de l'autre , il en ré- 

 sulte la proportionnalité des faces homologues et par suite l'égalité 

 des autres coins , qui se correspondent dans les deux tétraèdres. 



Il suit du précédent théorème , que les deux polyèdres, de chacun n 

 faces, sont directement on inversement semblables, ils sont égaux ou 

 symétriques entre eux, suivant que les faces homologues sont semblables ou 

 égales et semblablement ou inversement disposées. Chaque fois, en effet, 

 les faces homologues sont proportionnelles et par suite les coins ho- 

 mologues sont égaux ( ce théorème est remarquable). 



Regardant donc comme condition unique l'égalité ou la similitude 

 de deux faces homologues , il est clair que n — 1 sera le nombre de 

 conditions nécessaires et suffisantes à l'égalité et à la symétrie des deux 

 polyèdres , à leur similitude directe et à leur similitude inverse. Mais 

 ce nombre de conditions se réduit toujours à 3 pour les pyramides et 

 les prismes , parce que les n — 4 conditions restantes résultent de la 

 définilion de chacun de ces deux genres de corps géométriques. 



