La Similitude. 27 



VII. La notion de similitude conduit très-simplement à l'expression 

 du volume d'un tétraèdre quelconque T, de base b et de hauteur h , d'a- 

 près la mesure de tout prisme. En effet, pour l'ingénieuse décomposi- 

 tion du tétraèdre, employée par Euclide et Legendre , soit T' le té- 

 traèdre retranché par le plan joignant les milieux des trois arêtes du 

 sommet de T, et soient P, P' les deux prismes triangulaires construits 

 sur les arêtes de deux trièdres égaux , dans T et T' : on démontre aisé- 

 ment que 



P = 8 P' et T = 2 P' 4- 2 T' ; d'où 4 T = P -f 8 T'. 

 Or, les deux prismes P et P' sont semblables , aussi bien que les deux 

 tétraèdres T et T' ; donc puisque P = 8 P', on voit que P n'est que P', 

 devenu 8 fois plus grand ; donc les parties de P ne sont que les parties 

 semblables de P', devenues aussi chacune 8 fois plus grande; donc T=8T' 

 (cela vient d'ailleurs de ce que la hauteur h deT est double de la hau- 

 teur h' homologue de T' et qu'ainsi le rapport T : T' = {h : h')^ = 8). On 

 a donc enfin 4 T =: P -[- T et T =1 P. 



M. Suzanne, dans son traité de géométrie, regarde comme chose 

 évidente, que siP = r T, on doit avoir aussi P' = r T'; mais cela ré- 

 sulte immédiatement de la méthode analogique. 



Il est encore plusieurs autres démonstrations du théorème P=3 T; 

 mais la plus simple et la plus directe est fournie par le principe d'ana- 

 logie, comme on l'a vu plus haut (p. 11). Cette démonstration me paraît 

 devoir être préférée à toute autre , comme remplissant à la fois les con- 

 ditions de clarté et de rigoureuse exactitude. 



VIII, La méthode analogique reçoit diverses formes pour exprimer les 

 grandeurs géométriques et les mesurer les unes par les autres; en voici 

 encore plusieurs applications. 



D'abord le plan divisant le coin latéral de tout tétraèdre en deux par- 

 ties égales , divise la base en deux triangles a' et c' proportionnels aux 

 faces adjacentes a et c , comprenant le coin proposé ; car il est évident 

 que a' est déterminé par a absolument comme c' par c. 



De même , si dans le tétraèdre SABC , la droite SO rencontrant en 

 la base ABC , fait des angles égaux , 1° avec les trois arêtes du sommet, 

 2° avec les trois faces latérales , il est clair, en vertu de l'analogie , qu'on 

 aura, 1° AO: AS=BO: BS=CO: CS , 2° A B : A B S := A CO : 

 ACS = BCO: BCS. 



Soient et 0' deux onglets d'une même sphère , C et C les coins de 

 ces onglets, F et F' les fuseaux qui leur servent de bases, A et A' les an- 

 gles sphériques de ces fuseaux , B et B' les angles de C et de C, a et a' 

 les arcs de grands cercles, interceptés par les côtés des angles B et B'. 

 ces arcs joignant les milieux des côtés de F et de F': le mesurage de a 



