80 J. N. NoËl. — De VAmlogk en Géométrie. 



térieur d'un triangle vaut toujours la somme des deux angles intérieurs 

 opposés. De sorte que les trois angles valent ensemble deux droits. 



III. Ce n'est que par le principe des zéros relatifs que la méthode 

 infinitésimale devient complètement analogique, pour passer du connu 

 à l'inconnu , c'est-à-dire pour représenter les lignes courbes par des 

 lignes brisées , les aires curvilignes par des aires rectilignes, les surfaces 

 courbes par des surfaces polyèdrales et les corps ronds par des polyèdres 

 (compris sous une infinité de faces planes rectilignes infiniment pe- 

 tites). 



De plus, pour obtenir l'expression de la grandeur géométrique 

 cherchée , on décompose cette grandeur en parties infiniment petites 

 et analogues , termes d'une série dont la loi soit connue , puis on cal- 

 cule la somme de cette série. Or, la série proposée est souvent la 

 somme des puissances m ièmes des n premiers nombres entiers , n 

 étant infini et m un exposant quelconque; il faut donc chercher 

 l'expression de cette somme, désignée par/n"; et l'on y parvient ai- 

 sément comme il suit : il est évident que 



\n[n-\- {) — \ [n — ï)n=:\n [n -{- { — n -f- 1) = « , 

 ^ \n [n 4- 1) (2 n + 1) — 1 [n — i) n (2 n — I) = n% 

 et ainsi pour d'autres identités analogues. Le premier terme de chaque 

 différence exprimant la somme des n premiers termes d'une série, 

 il est clair que le second terme , provenant de la substitution de n — l 

 à n dans le premier , sera la somme des m — d premiers termes de 

 cette série ; donc le reste n ou n^ en sera le n ième terme. Par con- 

 séquent n étant un nombre entier , aussi grand qu'on voudra , on 

 aura toujours 



/n = |«(«-l-l),/n^ =in(n-|-d)(2«-fl),etc. 



L'unité finie est nulle vis-à-vis de n infini; donc alors/n =? «% 

 /n'=:ri»%/„==i„', etc. 



En général , m étant un exposant quelconque , entier ou fraction- 

 naire, même négatif, pourvu qu'alors il soit différent de— i , on 

 aura toujours, en vertu du principe d'analogie et n étant entier 

 infini , 



(I -]- m)y n" = n n"'. 



IV. Outre cette formule importante , le principe des zéros relatifs 

 en fournit plusieurs autres à la méthode infinitésimale, pour l'éva- 

 luation numérique des grandeurs finies. On démontre aisément en 

 effet, que : 



1° Toiite courbe plane n'est au fond qiCune ligne brisée, composée d'une 

 infinité de côtés infiniment petits, appelés éléments de la courbe. Ce 

 principe est nécessaire à l'étude des courbes , à leur similitude , à 

 leur rectifcat ion , etc. 



