Les zéros relatifs. SI 



2° Une surface courbe est la somme d'une infinité de portions planes , 

 rectilignes et infiniment petites , nommées e/e'men^s de la surface; d'où 

 l'on déduit la similitude des surfaces courbes et des corps ronds. 



3° Le segment de toute courbe plane est la somme d'une infinité de pa- 

 rallélogram,mes rectilignes , de bases parallèles à la corde du segment et 

 tous de même hauteur infiniment petite. Ce principe et l'expression de 

 y m"" conduisent à la quadrature des paraboles y- = 'i px , y = ax"'; 

 des hyperboles xy = H%a;î/* = a% xy'' = a\x'' y — a;-j-^ = o, etc.; 

 de la folium a%f =ix (a — xy et de a' ?/ = x' {a db [/a x). 



4° Le secteur de toute courbe plane est la somme d'une infinité de 

 triangles isocèles rectilignes, ayant Vangle dti sommet égal et mesuré par 

 un arc circulaire infiniment petit , de rayon l. Ce principe et l'expres- 

 sion de/ M" ou certaines séries trigonométriques , fournissent la qua- 

 drature des spirales , des lemniscates et de certaines courbes planes , 

 dont on a les équations polaires. »^ 



S° Enfin , tout corps géométrique fini est la somme d'une infinité de 

 franches, à bases parallèles et totites de même épaisseur infiniment petite , 

 ces tranches pouvant conséquemment être regardées comme des prismes 

 ou des cylindres. Par exemple , dans la grandeur géométrique G , con- 

 sidérée plus haut (p. 19), si t désignela v ième des n tranches, à partir 

 du sommet , d'où h^^ nz, on aura , n étant infini , 



/(■» t = b zz'^v'"eth"'G = bz z"'fn'" ; 

 d'où il vient , comme plus haut , (I -f- '") G = bh. 



V. La décomposition en tranches infiniment minces est le procédé le 

 plus général pour mesurer les aires et les volumes, à l'aide du calcul. 

 On cherche l'expression de la v ième de ces tranches et l'on somme 

 la série dont cette expression est le v ième terme. En voici plusieurs 

 exemples remarquables. 



1° L'origine des coordonnées rectangulaires étant le sommet de la 

 courbe y" =%p x -\-qx^ , soit 2 S l'aire du segment qui répond à a? =: 

 A et à y =:^; ce segment aura 2 k pour corde. Considérons un axe ex- 

 térieur parallèle à celui des x, d^ k désignant la distance entre les 

 deux axes et cherchons le volume engendré par la révolution du demi- 

 segment S autour de l'axe extérieur. Il est clair, par l'expression de la 

 V ième tranche, à bases circulaires parallèles et d'épaisseur infiniment 

 petite . qu'on aura 



vol. S -= SX2 7rd±^h^ (p+j qh). 

 De sorte que sid=:o,jt>=ret9 = — l,il viendra, pour le volume 

 du segment de la sphère , de rayon r , vol. S :=: v h^ {r — j h). Le vo- 

 lume de la sphère est donc ^ v r^; tandis que le secteur sphérique S', 

 somme du segment propose et du cône \ tt k^ [r — h) , a pour expres- 

 sion W ^^l-TT rh y(,\r , en observant que ^' = 2 r A — h^ . 



