32 J. IN. Noël. — De. V /analogie en Géométrie. 



2° Soit Z la zone , base de S' : celle zone est la somme d'un nombre 

 infini de triangles sphériques infiniment petits et se confondant chacun 

 avec la portion de contact du plan tangent; donc S' est la somme du 

 même nombre infini de tétraèdres , tous de même hauteur r ; donc S' 



3" Concevons un cylindre droit tel , que sa base et toute section pa- 

 i-allèle soit le segment 2 S : Si par l'axe h de ce segment nous menons 

 deux plans quelconques, ces plans détacheront du cylindre un onglet O' , 

 ayant h pour hauteur et pour base le triangle T , intercepté sur la face 

 plane du «ylindre droit proposé. On trouve aisément, par lai; ième 

 tranche , à bases parallèles et semblables à T , la relation 



Il en résulte le moyen de mesurer le volume de toute voûte , composée 

 de plusieurs onglets 0'. De plus , si S est le quart du cercle ^ r -, don 

 h = k := r = p et q = — l,on aura 0' = | r T , expression remar- 

 quable surtout parce qu'elle ne dépend point du nombre x, contraire- 

 ment à ce qu'on pouvait supposer d'abord. n 



-4° Soit C la portion courbe de la surface du dernier onglet 0', quand 

 S ■=\ TT r^ ; on démontre aisément alors que 0' = C X i *■ 5 d'où C = 

 2 T, expression tout aussi remarquable que celle de 0'. 



5° Soit T' la capacité du tonneau qui résulte du volume engendré 

 par la demi-ellipse autour de son grand axe 2 a, moins les deux volumes 

 égaux à celui qu'engendre le demi-segment S autour du même axe. On 

 a donc d = o,ap = b-eta^q^= — i^. De plus, si l'ellipse est très- 

 allongée et qu'on ait, par exemple ,a=:6i, h =-^ b et b = ^ déci- 

 mètres, on trouvera T' = -^ tt b ^ = 933 litres , environ. 



6° Soit h la hauteur du segment S , dans V ellipsoïde et les deux 

 hyperboloïdes , rapportés à leurs axes principaux 2 a, 2 ft et 2 c : d'après 

 l'expression de la v ième tranche , que l'on peut regarder comme un cy- 

 lindre droit, à bases elliptiques, sa hauteur m étant infiniment petite et 

 donnée par h = nu, on trouve , pour l'ellipsoïde, l'hyperboloïde à deux 

 nappes et l'hyperboloïde à une nappe, les relations 



a^ S — TT b c h^ [a Zip \h) et c- S= ■TT a b h[c '- -^ \ h^). 



7" SiÂ = ^adans l'ellipsoïde A = a dans l'hyperboloïde à deux nappes 

 et A=c pour l'hyperboloïde àune^nappe, on trouve chaque fois S = 

 \ abc: C'est le volume de l'ellipsoïde dont abc, sont les demi-axes prin- 

 cipaux. Celte valeur met bien en évidence la grande analogie qui existe 

 entre les surfaces du second ordre : elle se tire de celle du volume 

 de la sphère en observant que si Â; désigne le rapport du volume E de 

 l'ellipsoïde au volume abc , on aura E = A; abc. Le rapport k est né- 

 cessairement indépendant de a, de fcetdec; ce nombre ne change 



