Les zéros relatifs. §3 



donc point quand rt = Z> = c ; mais alors k^^\-xGl^=z^-!r abc ; ce 

 qu'il fallait trouver. 



VI. On voit avec quelle facilité la méthode infinitésimale conduit aux 

 expressions des aires et des volumes , en certains cas. On peut même 

 éviter l'emploi explicite des grandeurs infinitésimales et de la réduction 

 à l'absurde, sans que les calculs en soient beaucoup plus compliqués. 



Par exemple , soit P le volume de la pyramide , de hauteur h et de 

 base 6 quelconque, mixte ou curviligne, convexe ou concave. Concevons 

 que la hauteur A soit divisée en n parties égales à x, par des plans 

 parallèles à la base b , d'oti A =mx : ces plans divisent P en n tranches 

 toutes de même épaisseur x. Soit T la «; ième de ces tranches, à partir 

 du sommet extrémité de A; soient p eiq ses deux bases, aux dislances 

 t^f et [v ~ \) X du même sommet. On sait que b : p \\ h" : v- x'' ; 

 d'où posant i=c A" , il vient p=^c ^)'a?^ De même, qt= c{v — iyx\ 

 La V ième tranche T est moindre que le prisme px , comme y étant 

 contenue ; elle est plus grande que le prisme qx, comme le renfermant; 

 par conséquent on a T ^ jpa; — <C (P — q) x on 



D'ailleurs il est clair que »^ = | [rr' — [v — Ij^] -♦- < 2 v. Subs- 

 tituant cette valeur dans T , il est clair que la différence de deux quan- 

 tités, moindre chacune que ^cxH, est moindre elle-même que 2cjr'»;, et 

 à plus forte raison que Icx'^n ou 2cAj:-, puisque v ne surpassera jamais 

 n; on aura donc 



T = i cx'^ [»3 — (,, _ 1)3] ± < ^chx\ 



Prenant successivement j7:=:l,2,3,4,..., n, puis ajoutant entre 

 elles les n expressions résultantes , la somme sera la valeur de P ; rédui- 

 sant donc , d'après h^nx e\.bz=. ch- , on trouvera 



P = 1 fcyi zt < ^bx. 



La dififérence P — l bh est constante , aussi bien que P,b eth', néan- 

 moins elle est toujours moindre que le prisme 2 bx , essentiellement 

 variable avec x et qui peut lui-même devenir moindre que le plus petit 

 volume assigné , en prenant la partie x suffisamment petite. 11 faut donc, 

 pour satisfaire à ces deux conditions, que la différence P — ^ bh soit 

 nulle et qu'on ait P = g bh. 



On trouverait , par des raisonnements absolument semblables , le vo- 

 lume de tout segment sphérique. On devrait donc préférer ce procédé , 

 même à celui de M. Querret, pour l'équivalence des tétraèdres , si mieux 

 on n'aimait se servir du principe d'analogie , tout aussi clair et aussi 

 «xact , mais beaucoup plus simple , comme n'exigeant aucun calcul. En 

 général, c'est par la méthode analogique, comprenant la méthode 

 infinitésimale, que l'on trouve le plus simplement et le plus clairement 



