24 J. N. Noël. — De VJnnhgie en Géométrie. 



possible les relations entre les grandeurs qui sont comparables les unes 

 aux autres. 



Rectification de la circonférence. 



I. La méthode infinitésimale étant complètement analogique , con- 

 duit souvent, avec facilité, aux expressions des aires et des volumes 

 finis ; mais elle est beaucoup plus compliquée pour les longueurs cur- 

 vilignes , considérées comme lignes brisées ; tellement qu'il est peu de 

 courbes dont on sache opérer la rectification suffisamment approchée. 



Rectifier une courbe C tracée et limitée , c'est en mesurer la longueur 

 et l'exprimer en unités rectilignes , en mètres , par exemple, comme 

 si la courbe était redressée et étendue en ligne droite. 



Mais comment opérer cette rectification? Le moyen mécanique , qui 

 s'otfre d'abord , est de tendre sur C un /// flexible, puis de placer ce 

 fil sur une droite, avec le même degré de tension , et de prendre la 

 longueur du fil , dans sa nouvelle position , pour celle rectifiée de la 

 courbe C. Mais il faut qtie cette courbe, limite d'un corps matériel , 

 soit convexe : si elle était concave et tracée sur le plan du papier, il 

 faudrait remplacer le fil par une lamme très-mince , à bords rectilignes 

 et parfaitement élastiffue. On aura ainsi la longueur C en ligne droite; 

 mais l'approximation , bien qu'elle puisse être suffisante, sera tou- 

 jours fort incertaine , par l'impossibilité de réaliser toutes les con- 

 ditions d'exactitude qu'exige l'opération. D'ailleurs cette opération 

 mécanique, d'une approximation dont le degré reste inconnu, devrait 

 se répéter sur chaque courbe tracée ; tandis que si la courbe peut se 

 rectifier, parla méthode infinitésimale, il en résultera une formule , 

 applicable à toutes les courbes de même genre , et qui fera connaître 

 chaque fois la limite supérieure de l'erreur commise sur la longueur 

 mesurée. On voit l'importance des foxmules de rectification, toujours 

 préférables aux procédés mécaniques indiqués ci-dessus et à tout 

 autre analogue. 



n. Si l'on connaissait exactement le rapport w de la circonférence 

 C à son diamètre 2 r, d'où C ^ 2 jt r, la rectification de C serait bien 

 facile, puisqu'elle se réduirait à mesurer, le plus exactement possible, 

 le rayon r. Et comme le nombre tt se présente dans une foule d'éva- 

 luations numériques, on avait ainsi de sérieux motifs pour le déter- 

 miner exactement. Or, par l'un des procédés mécaniques, exécuté le 

 plus exactement possible, on trouve, avec un bon compas, 5r = 3 f 

 environ; mais ce n'est-là qu'une approximation fort médiocre, et jus- 

 qu'à présent on n'a pu calculer le nombre ^ que d'une manière très- 

 approchée. 



