Rectification de lu circonférence. 35 



On conçoit bien que la circonférence C , ligne courbe , et son dia- 

 mètre, ligne droite, ne peuvent avoir d'autre mesure commune qu'une 

 quantité infiniment petite , et qu'ainsi le nombre ^ est inexprimable. 

 Mais le rapport de la diagonale du carré à son côté , savoir [/2, est 

 aussi inexprimable; et cependant on a des procédés rigoureux pour 

 construire tous les radicaux du second degré ; on pouvait donc penser 

 que peut-être il serait possible aussi de construire rigoureusement le 

 nombre ■r. C'est de là que proviennent les nombreux essais inutiles 

 faits pour carrer le cercle , ou ce qui revient au même, pour rectifier 

 la circonférence. 



De pareils essais ne sont plus tentés maintenant que par ceux dont 

 les connaissances en géométrie ne vont pas jusqu'aux méthodes élé- 

 mentaires pour résoudre les deux problèmes que voici : 



Etant donné numériquement le rayon , calculer la longueur de la cir- 

 conférence en unités rectilignes ? 



Connaissant mimériquement la longueur rectilignc de la circonférence, 

 calculer son rayon? 



Dans ces deux problèmes , l'analogie entre le cercle et les polygo- 

 nes réguliers conduit à calculer , soit le périmètre d'un polygone ré- 

 gulier, d'un très grand nombre de côtés, ayant le rayon ou l'apothème 

 égal au rayon du cercle proposé , soit le rayon et l'apothème du poly- 

 gone régulier dont le périmètre ait même longueur que la circonfé- 

 rence donnée. Dans les deux cas , il faut passer par une suite de poly- 

 gones réguliers , de deux en deux fois plus de sommets , jusqu'à ce 

 que le rayon et Fapothème du dernier polygone soient égaux dans les 

 décimales conservées. Car ce dernier polygone régulier serait un 

 cercle, si son apothème et son rayon étaient rigoureusement égaux; 

 ce qui n'arrivera jamais, puisque son côté devrait se réduire à un in- 

 finiment petit de l'ordre infinième. Mais on voit néanmoins que h 

 cercle n'est au fond qu'un polygone régulier d'une infinité de sommets, 

 dont le rayon et l'apothème coïncident; c'est le polygone régulier du 

 plus grand nombre de côtés, en vertu de l'analogie. 



III. Le second problème ci-dessus est celui dont la solution offre 

 les calculs les plus simples pour déterminer la valeur approchée de ^r, 

 et donne lieu à des considérations utiles, que nous allons développer, 

 bien que plusieurs de ces développements se trouvent déjà dans la 

 2* édition de notre traité de géométrie. 



Soit d'abord ABC un triangle rectangle en A , dans lequel A B est 

 le demi-côté d'un polygone régulier de n sommets, C A=a l'apothème 

 et C B = r le rayon de ce polygone. Soient D et E les milieux res- 

 pectifs de C B et C A , d'où D E = i A B ; du point D menons D B' = 



