36 .1, N. NoËl. — De l'Analogie en Géométrie. 



^ r perpendiculaire à B A, et du point B', B'A' perpendiculaire à C A 

 prolongé: il est clair que B'A'=DE=| AB et que l'angle B'CA' = 

 B'CB, vu que BDB'==2BCB' = BCA, doù B'CA' = \ BCA. Donc 

 CA'=a' et CB'=)-' sont l'apothème et le rayon du polygone régulier 

 de 2» sommets, knpérimètre avec le proposé. Soit I le milieu de la 

 base CB' du triangle isocèle CDB' : les deux triangles équiangles 

 CB'A' et CDI donnent a : \ r'= r' : 1 r ; ainsi à cause de CA' = 

 C E+DB', on a les deux relations très-simples et fort remarquables : 



r' = y [r a) eto' — i (a-+- r ).... (1) 



11 est évident que a' > a et ?•' <r; si donc on passe par une suite 

 de polygones réguliers isopérimètres , de deux en deux fois plus de 

 sommets , les apothèmes iront en augmentant et les rayons en dimi- 

 nuant ; il est donc possible de parvenir à un polygone régulier dont 

 le rayon et l'apothème soient égaux dans les sept premières décimales, 

 par exemple. 



IV. Pour calculer ce rayon et cet apothème , j)artons de l'exagone 

 régulier dont le i)érimètre 6c soit donné numériquement avec le 

 côté f, que nous prendrons d'abord pour unité linéaire: nous aurons 

 donc ?• = f — 1 et « = I c j/ -i = 0, 8660254. Avec ces valeurs les 

 formules (1) fei'ont connaître le rayon et l'apothème du polygone ré- 

 gulier de 12 côtés, dont 6c est le périmètre; puis l'apothème et le 

 rayon du polygone régulier de 24 côtés , de 48 , 96,.,., ayant tous le 

 même périmètre 6 c. Calculant chaque fois sept décimales exactes , on 

 formera le tableau ( p. il4 de la géométrie, où x=c ). 



L'apothème et le rayon du polygone , régulier de 12288 côtés étant 

 égaux chacun à 0, 9349296 c, chacun peut être pris pour le rayon du 

 cercle dont la circonférence est égale en longueur au périmètre con- 

 stant 6c ; par conséquent on a 3-= 6c ; 2 fois 0,9o49296c ou bien tt 

 = 5:0,9o49290; d'où 



«■ = 3,l41o926 et 1 :^ = 0,5183099. 



La seconde de ces valeurs est exacte dans les sept premières déci- 

 males , aussi bien que celle de ît ; mais il pourrait se faire que le der- 

 nier chiffre 6 de ^r ne fût pas exact, vu que la valeur du rayon n'est 

 qu'approchée. Or, la différence des circonférences, dont r et r-\-d 

 sont les rayons, est 2 ;r fi ; donc puisque d est moindre que la demi- 

 Jécimale du 7" ordre, l'erreur sur la valeur de tt n'est pas de 3 de ces 

 Jccimales. On sait d'ailleurs, en en calculant vingt, que les sept déci- 

 males de îT sont exactes, 



Y. Voyons maintcnanl les moyens d'abréger les calculs que nous ve- 



