HecU/kalion de la circonférence. 37 



nons d'indiquer. Premièrement, si l'on ne veut pas employer les /ogra- 

 f7<Aw<es pour calculer les rayons le plus simplement et le plus sûrement 

 possible, à l'aide des tables, ayant au moins 10 décimales , on peut tou- 

 jours achever les extradions de racines carrées par de simples divisions, 

 après avoir abrégé la multiplication des deux nombres ayant chacun 

 sept décimales exactes, comme il est prescrit en arithmétique. 

 . Secondement, il n'y aura que six extractions de racines carrées à effec- 

 tuer ; car pour la septième »•' = (/( r a'), on a r = 0,9549723 et a'== 

 0,954908g ; d'où r — a'< j/a'ou ( |/ /• -+- |/ a' ) {\/r — j/«' )< |/o'. 

 Et comme |/ a' < j/r, donne 2 j/' o' < [/r -+- J/ a', il vient , à plu& 

 forte raison, 2 ( {/;• — \/ a ) <^ 1- Cela donne 



Cette différence étant donc moindre que le 8= de l'unité décimale du 

 7® ordre, on pourra désormais substituer la demi-somme à la racine 

 carrée. 



Troisièmement , cette abréviation est déjà très-grande ; mais il existe 



une formule pour calculer immédiatement le dernier rayon et le dernier 



apothème. En effet, la demi-somme remplaçant la racine carrée, on a 



2a'= a -»- >• et 2r' = a'-+- r ; 



d'oîi a'-t- 2 r' = a -+- 2 r et 4 ( r — o') = r — a. 



Ces deux équations, pour le v ième et le [v ■+- l)ième polygone , sont 

 représentées par celles-ci: 



La première de ces équations à numéros peut se représenter par 



si donc on y fait successivement i; = 6, 7, 8, 9,..., n — 1, la somme des 



équations résultantes donnera , réductions faites, 



X = X „ o\i a -f- 2 r = a „ -f- 2 r ^ . 

 « 6 n Mb o 



Comme on finira toujours par trouver le polygone régulier dont le 



rayon et l'apothème sont, égaux, dans les décimales conservées, oa 



aura 



a =r = |( a. -H 2r„) =0,9349296. 



Plus généralement , la formule demandée est 

 a„ = r,. =i (av-4-2rv). 



Cette formule abrège singulièrement les calculs quand on veut avou^ 

 un grand nombre de décimales exactes ; chose nécessaire dans les nom- 

 breux usages du nombre tc , pour obtenir des approximations suffisantes. 

 et bien connues. 



