38 J. N. Noël. — De l'Analogie en Gèomélrie. 



Quatrièmement , on peut aussi trouver le nombre v de tous les poly- 

 gones réguliers isopérimètres , pour que le rayon et l'apothème du der- 

 nier ne diffèrent pas de la demi-décimale du n ième ordre. 



A cet effet, observons que la seconde équation (2) peut se représenter 

 par celle-ci : 



•4dv-fi = dv 



Prenant v = \,^, % , A...., v — let multipliant membre à membre 

 les f — 1 équations résultantes, on trouvera 



A--'ày^=d, ou V-' (r^ — av) = r, — a,. 

 Or, on veut que la plus grande valeur de r, — a^ soit | (10-" ) ; et de 

 plus, on a évidemment rj — a, <^0,2 et ^ 0,1. Il vient donc simulta- 

 nément 



4'-'<0,4 X 10" et 4'-'> 0,2 X '0°- 



Prenant les logarithmes ordinaires de part et d'autre, on a 

 (p — 1) 2/2 < 2/2 -[- «— 1 et > /2 -{- «— 1. 



Comme /2==0,g010300, on peut s'arrêtera /2 = 0,8; donc 

 ^ < 2 + f (« - 1) et t;> 1_,S -f I («- 1). 



Par ces deux formules, si l'on veut avoir sept décimales exactes, d'oîV 

 n= 7, on aura » <^ 12 et t?^ 11,5. Mais comme v doit toujours être 

 entier, il faudra prendre v = 12; donc comme on le voit par le tableau, 

 on devra considérer 12 polygones réguliers, pour que le rayon et l'apo- 

 thème du dernier soient égaux dans les sept premières décimales. 



Pour w = 4 , il vient v =7 ; pour n = o ou 6 , on a r = 10 ; pour 

 n= 15, 100 ou 150, il vient» = 25, 167 ou 251. 



VI. Le rayon de la circonférence 6c étant exprimé par pc , quel que 

 soit le nombre de décimales de p, valeur de l'apothème et du rayon du 

 dernier polygone régulier isopérimètre, il est clair que le rapport ît ;=: 6c: 

 2 jp c ne dépend point de c , puisqu'il se réduit att ^Z : p; donc quelle 

 que soit la conférence 6c, son rapport à son diamètre 2pc est un nombre 

 constant îT, que nous venons de calculer avec sept décimales exactes. 

 Ainsi comme on l'a déjà démontré par la méthode analogique, les cir- 

 conférences des cercles sont entre elles comme leurs diamètres; ce sont deux, 

 lignes semZ)/a6/es , représentées par leurs rayons, pour les opérations 

 graphiques ; tandis que les aires des deux cercles sont représentées par 

 les carrés faits sur leurs rayons ou sur leurs diamètres. 



Il résulte d'ailleurs, des calculs indiqués plus haut, que le nombre tt 

 exige une infinité de racines carrées successives, inexprimables cha- 

 cune, pour en déterminer tous les chiffres décimaux, en nombre infini. 

 De sorte que la longueur rectiligne de la circonférence est composée 

 d'une infinité de radicaux irréductibles du second degré, et ne peut se 

 construire que par approximation. Donc la quadrature du cercle est ira- 



