Les distances négatives. 45 



Dans tous les problèmes sur les droites numériques , la distance 



^ A P = X d'un point P au point A de la droite 



B P ■'^ " quelconque B C , mobile ou non autour de 



ce point A, est toujours liée à deux autres distances, sur la même 

 droite , et aussi grandes qu'on voudra , savoir A B= m et B P = ». 

 De plus , cette relation dépend uniquement de la position du point P 

 à l'égard de A; car suivant que P est situé à droite ou à ganche de A , 

 on a nécessairement 



v = m -\- X ouv=m — x,... (1) 



et cela quel que soit le problème où x se trouve. Si donc on part 

 toujours du cas où P est à droite du point A et où v = m-^x, la 

 longueur x sera toujours positive de A vers C et conséquemment 

 négative de A vers B , dans le sens directement opposé , puisqu'alors P 

 sera à gauche de A et qu'on aura v = m — x. Ainsi la distance x doit 

 recevoir le signe— quand elle est mesurée en sens directement contraire ,■ 

 et réciproquement, si elle reçoit le signe — , parle calcul, on doit sup- 

 primer ce signe et porter le nombre résultant en sens directement opposé, 

 sur la même droite BCet à partir du même point A. Ce double principe 

 subsiste même lorsque la droite a tourné autour de A ou ce pomt 

 glissé sur BC, axe des distances x ; car on a toujours les deux re- 

 lations (1). 



En résumé , pour que le principe d'analogie ait lieu , dans toute 

 son étendue, et que la formule soit absolument générale, il faut 

 qu'elle puisse s'appliquer à la fois à toutes les valeurs numériques de 

 chaque droite limitée qu'elle renferme et à toutes les positions de 

 cette droite X autour de son origine A. Or, on réalise ces propriétés 

 importantes de la formule, ï" en y changeant x en— x lorsque la 

 droite X doit se porter en sens directement opposé sur l axe , pour une 

 autre circonstance du même problème (dont on trouve immédiatement 

 ainsi la solution) ; 2° en portant la droite x en sens directement oppose 

 lorsque le calcul lui donne une valeur négative, celle-ci ne pouvant que se 

 rapporter à une autre circonstance du problème propose (ainsi résolue 

 sans aucun nouveau calcul). 



Tel est le double principe des distances né^afii-es, également applicable 

 à des aims et à des volumes : il en résulte la règle des signes , dans la 

 multiiilication et dans la division, par quatre rectangles égaux a 

 R= è/t, assemblés autour d'un point sur le plan; on passe du pre- 

 mier R oubh au second, de celui-ci au troisième et de ce troisième au 

 quatrième. Ce double principe est indispensable à la géométrie analy- 

 tique pour la discussion des équations et la conslruction des lignes 



