Les (U&tances néffatives. 47 



zéro absolu , soit par Vin/înîmsnt grand et l'absurde ou la non exis- 

 tence. 



Pareillement, la fonction d'une variable ne peut dévenir imaginaire, 

 de réelle qu'elle était , qu'en passant par le maximum ou par le mm/- 

 mum de la variable proposée. 



La théorie des max'mums et des minimums du second degré fait 

 partie de la discussion des problèmes de ce degré et doit entrer dans 

 les éléments d'algèbre, comme fournissant un grand nombre d'appli- 

 cations utiles et remarquables : elle repose sur ce que le problème est 

 impossible , ou plutôt la fonction inconnue , lorsque le radical est 

 imaginaire. Mais on peut résoudre un problème analogue , avec les 

 mêmes nombres donnés , en interprétant le symbole imaginaire • ce 

 qui se fait toujours en remplaçant la soustraction sous le radical par 

 une addition. 



Par exemple, considérons les trois points A , B , C en ligne droite, 

 les longueurs AB = a et AC= b étant données, et cherchons la dis- 

 tance X du point A à un point P de la même droite , de telle sorte que 

 X soit moyenne proportionnelle entre les distances BP et CP. 



Il est clair que B étant entre A et C , le point P pourra tomber hors 

 des trois points , ou entre A et B , ou entre B et C : dans ce dernier 

 cas, on a ar^ = (x — o) (b — x). Discutant la formule , on verra que 

 les deux solutions seront positives et rationnelles poura=2«et 

 6= 12 n; imaginaires à Interpréter, pour {a-\- b)^^8ab- et que si 

 « est constant, la variable b atteint son maximum et son minimum, 

 pour (a -{-*)* = 8a&, qui est aussi la condition du maximum et du 

 minimum de a lorsque 6 est donné invariable. 



On pourrait examiner le cas où le point P tombant sur le prolon- 

 gement de AC, la longueur BP = î/ désigne la distance cherchée. 

 Si alors AB=:aetBC = c, on aura y^== {a-{-y) [y — c). 



On voit , par les discussions précédentes , que l'interprétation 

 des symboles, dûs à la soustraction , se fait toujours par celle des dis- 

 tances négatives ; en sorte que la discussion des problèmes de géo- 

 métrie numérique est ramenée au double principe démontré plus 

 haut; lequel devient celui des aires négatives, dans la discussion du 

 problème où , connaissant l'aire a enfermée par trois droites indéfi- 

 nies, il faut mener à l'une d'elles la parallèle terminée aux deux autres, 

 de telle sorte que le trapèze résultant ait une aire connue t. 



Enfin , puisqu'il est évident que si, de la somme des n premiers ter- 

 mes d'une série , on soustrait la somme des n — l premiers , le reste 

 sera le n ième terme; le calcul des quantités négatives isolées fournit 

 immédiatement les sommations : 



