4R "^ J. N. Noël. — De l'Jmilogie en Géomélrie. 



/ ± n = ± 1 « -f ; (1 ± 4) ,/± (2« -1) = d= ,/ , 



et ainsi pour d'autres séries analoefues ; le signe supérieur de ± ayant' 

 lieu chaque fois pour n impair. 



D'après cela, si un promeneur va et vient dans une longue avenue 

 et s'astreint à parcourir , en sens directement opposés , les chemins 

 successifs 1 mètre, 3, 5, 7 , 9 , 11 ,... , on saura calculer sa distance x 

 au premier point de départ, après le n ième chemin ; on pourra aussi 

 calculer le chemin total parcouru y et le temps z de la promenade , 

 si le promeneur fait 40 mètres par minute et qu'il emploie 6 secondes 

 pour se retourner. 



Les chemins successifs pourraient devenir de 2 en 2 fois plus grands, 

 ou bien encore croître , soit comme les nombres entiers, soit comme 

 leurs carrés ou leurs cubes , soit comme les carrés ou les cubes des 

 nombres impairs , etc. 



Le temps z de la promenade pourrait être donné , dans les hypo- 

 thèses ci-dessus ; mais alors comme n doit être un nombre entier et 

 que z est arbitraire , il faudrait lui donner la valeur propre à rendre» 

 entier positif. 



C'est-lù un exemple où l'inconnue doit être un nombre rationnel , 

 dans une équation du second degré. La géométrie en fournit plusieurs 

 autres remarquables , comme quand on veut assigner aux côtés d'un 

 triangle, des valeurs entières quelconques, ou bien en progression arithmé- 

 tique, et telles que l'aire soit chaque fois un nombre mtionncl. 



Ce problème est susceptible d'un grand nombre de solutions , 

 comme on sait , et fournit trois suites de valeurs entières correspon- 

 dantes , soit pour les côtés du triangle rectangle , soit pour ceux du 

 triangle acutangle ou du triangle obtusangle : il en résulte chaque 

 fois des valeurs ralion7ieUes pour chacun des sinus des angles. 



On en déduit aussi plusieurs quadrilatères, dans chacun desquels 

 les côtés étant des nombres entiers , l'aire et les diagonales sont des 

 nombres exprimables. 



