VII. Sur la double génération des surfaces du second degré 

 par le mouvement d'un cercle , 



par M. J. B. BRASSEUR , 



fi'rofesseur de géométrie descriptive et de mécanique appliquée à l'Université 



de Iiiége , etc. 



l [Planche 4). 



Je me propose de traiter, d'une manière élémentaire, la double gé- 

 nération des surfaces du second degré par le mouvement d'un cercle 

 variable de rayon et de déduire de cette génération quelques pro- 

 priétés simples, qui mettent en état de résoudre par la géométrie des- 

 criptive les questions qui ont rapport aux plans tangents à ces sur- 

 faces ainsi qu'à quelques intersections. Je ne suppose connues que 

 les notions les plus .simples de la Géométrie analytique plane. 



PRINCIPES PRÉtmiNAIEES. 



1. Principe. — Si deux droites de Tespace, faisant chacune le même 

 angle avec le plan horizontal^ se coupent mutuellement en deux parties 

 de manière , que le produit des deux parties de l'une égale le produit des 

 deux parties de tautre , la même relation existera entre les projections 

 horizontales de ces mêmes parties. 



Démonstration. — Désignons par (a), {b) les deux parties de la pre- 

 mière droite et par a, h les projections de ces mêmes parties. Dési- 

 gnons de même par (a), {b') les deux parties de la seconde droite et 

 par a, b' les projections de ces mêmes parties. 



On donne .: (a) X (b) = («') X {b') .... (1) 

 Il faut prouver que a X -^ = «' X -^1 •.•• (2) 

 Or si a. est l'angle que chacune des deux droites fait avec le plan 

 horizontal, il suffira de multiplier les deux membres de l'équation (1) 

 par cos^tt pour la faire coïncider avec l'équation (2). 



2. Réciproquement. — Si deux droites de l'espace , faisant chacune le 

 même angle avec le plan horizontal , se coupent mutuellement en deux 

 parties , de manière que le produit des projections des deux parties de la 

 première égale le produit des projections des deux parties de la seconde , 

 la même relation existera entre les parties de ces droites dans l'espace. 



