li^fi j. B, Brasseur. — Surfaces du second degré. 



Démonstration. — Dans le cas actuel l'équation (2) est donnée et il 

 s'agit de prouver l'équation (1). En désignant par « l'angle que chaque 

 droite fait dans l'espace avec le plan horizontal, il suffira de diviser les 

 deux membres de l'équation (2) par cos'' « pour en déduire l'équa- 

 tion H) cherchée. 



3. Remarque. — Nous remarquerons que deux droites qui se cou- 

 pent dans un plan de l'espace feront des angles égaux avec le 

 plan horizontal , lorsqu'elles font chacune le même angle avec une 

 horizontale ou avec une ligne de plus grande pente de ce plan ; ou 

 bien, lorsque les projections de ces droites font le même angle avec 

 la projection d'une horizontale ou avec la projection d'une ligne de 

 plus grande pente de ce plan. 



4. Définition. — Dans une courbe du second degré nous nommerons 

 cordes anti-parallèles , deux cordes qui sans être parallèles , font chacune 

 les mêmes angles avec un même axe, ou diamètre principal^ de la courbe 



5. Principe. — Si deux cordes anti-parallèles d'une courbe du second 

 degré se coupent mutuellement en deux parties , le produit des deux 

 parties de la première est égal au produit des deux parties de la seconde. 



Démonstration. — Cette propriété qui, à ma connaissance n'a pas en- 

 core été énoncée , je vais la démontrer pour le cas de l'ellipse qui peut 

 être considérée comme la projection orthogonale d'un certain cercle 

 de l'espace. 



Lorsqu'un cercle se projette dans une ellipse, le diamètre horizon- 

 tal du cercle se projette dans le grand axe, et le diamèlre perpendi- 

 culaire au précédent, c'est-à-dire, le diamètre de plus grande pente se 

 projette dans le petit axe de l'ellipse. Cela étant, deux cordes quel- 

 conques anti-parallèles de l'ellipse seront les projections de deux 

 cordes du cercle, celles-ci faisant chacune, d'après la remaïque (5), un 

 même angle avec le plan de projection , ici plan de l'ellipse; et puis- 

 que dans le cercle les deux cordes se coupent mutuellement en deux 

 parties de manière que le produit des deux parties la première égale le 

 produit des deux parties de la seconde, il suit d'après (1) que la même 

 propi-iété existe pour deux cordes anti-parallèles de l'ellipse. 



Cette propriété se démonti-e de la même manière pour les autres 

 courbes du second degré, en les considéiant comme projections cen- 

 trales du cercle. 



Voici la réciproque que nous laissons à démontrer: 

 Réciproque. — Deux cordes d'une courbe du second degré qui se 

 coupent mutuellement en deux parties , de manière que le produit des 



