J. B. Brasseur. — Surfaces du second degré. 4S9 



deuT parties de Vnne égale le produit des deux parties de Faittre , sont 

 deux cordes an ti- parallèles. 



On démontrerait de la même manière les deux théorèmes (6 et 7) 

 que voici (ainsi que leurs réciproques) : 



6. Principe. — Si d'un point donné hors d'une courbe du second degré 

 on mène deux sécantes anti-parallèles , c'est-à-dire, faisant chacune un même 

 angle avec un même axe de la courbe, le produit de la première sécante en- 

 tière par sa partie ejrtérieure sera égal au produit de la seconde sécante en~ 

 tière par sa partie extérieure. 



7. Principe. — Sid'unpoitit donnéhors d'une courbedu second degré on 

 mène une tangente et une sécante anti-parallèles^ la tangente sera moyenne 

 proportionnelle entre la sécante entière et sa partie extérieure. 



8. Principe. — Par les extrémités de deux cordes anti-parallèles d'une 

 courbe du second degré, on peut toujours faire passer une circonférence de 

 cercle; mais par les extrémités de deux cordes parallèles , qui ne sont pas 

 des cordes principales , on ne saurait jamais faire passer une circon- 

 férence. 



Démonstration. — La première partie de cette proposition est vraie, 

 soit que les deux cordes anti-parallèles se coupent dans l'intérieur ou 

 que prolongées elles se coupent hors de la courbe du second degré; ce 

 que l'on démontre facilement en menant une circonférence par trois 

 des quatre extrémités et en prouvant, au moyen de (5 et 6), que cette 

 circonférence doit nécessairement passer par la quatrième extré- 

 mité. La seconde partie de la proposition est trop facile à établir 

 pour devoir nous y arrêter. 



En se référant aux réciqroques des propriétés énoncées aux numé- 

 ros (5 et 6) on établira sans peine la suivante : 



9. Principe. — Si une circonférence de cercle coupe une courbe du second 

 degré en quatre points, deux côtés opposés quelconques du quadrilatère qui 

 a pour sommets ces quatre points, ou bien, les deux diagonales de ce qua- 

 drilatère seront deux cordes anti-parallèles. 



10. Principe. — Si par différents points d'une même tangente à une 

 courbe du second degré on mène des sécantes parallèles , le rapport entre le 

 produit d'une sécante entière par sa partie extérieure , et entre le carré de 

 la tangente comptée depuis le point oii elle rencontre cette sécante jusqu'au 

 point de contact , sera toujours constant. 



Cet énoncé doit être modifié de la manière suivante pour l'hyper- 

 bole, dans le cas où les sécantes rencontrent les deux branches de 

 cette courbe : 



