^60 J. B, Brasseur. — Surfacps du aecond degrL 



Si par tous les points d'une tangente à une hyperbole on mène des 

 cordes parallèles comprises entre les deux branches de la courbe; le rap- 

 port du produit des deux segments que la tangente détermine sur une 

 corde quelconque au carré de la tangente comptée depuis le point oit elle 

 rencontre cette corde jusqu'au point de contact, sera toujours constant. 



Démonstration. — Nous nous contenterons d'indiquer, que le principe 

 énoncé est évident pour le cas du cercle et qu'on l'étend très-facile- 

 ment aux autres courbes du second degré en considérant l'ellipse 

 comme projection orthogonale, la parabole et l'hyperbole comme pro- 

 jections centrales du cercle. 



DOUBLE GÉNÉRATION DES SURFACES DU SECOND DEfiRÉ. 



i\. Deux diamètres égaux d'une courbe du second degré sont 

 deux diamètres anti-parallèles et les cordes respectivement conju- 

 guées à deux diamètres égaux constituent deux systèmes de cordes 

 anti-parallèles. Cela posé , je dis que 



12. Double génération. — Les deux séries de circonférences de cer- 

 cles, qui ont respectivement pour diamètres et pour projections deux sys- 

 tèmes de cordes anti-parallèles d'une courbe du second degré , constituent 

 identiquement une même surface. 



13. Autrement. — Si une circonférence de cercle variable de rayon , 

 qui s'appuie sur une courbe du second degré prise pour directrice , se meut 

 de manière que son centre parcourt l'un ou Vautre de deux diamètres 

 égaur de la directrice et que son plan toujours perpendiculaire au 

 plan de la directrice reste parallèle aux cordes conjuguées à ce diamètre, 

 cette circonférence engendrera dans les deux cas identiquement la même 

 surface. 



Démonstration. — Pour prouver que les deux séries de circonfé- 

 rences en question constituent identiquement la même surface , il 

 suffit de prouver que deux circonférences se coupent dans l'espace , 

 lorsqu'elles ont respectivement pour diamètres et pour projections 

 deux cordes anti-parallèles qui se coupent dans une courbe du second 

 degré. 



Soient {fig. l) ab, a'b' deux cordes quelconques anti-parallèles de 

 l'ellipse aa'bb' se coupant au point m , je dis que les deux circonfé- 

 rences qui ont respectivement pour diamètres et pour projections 

 ces deux cordes , se rencontrent dans l'espace au point projeté en m. 



Soit h la hauteur du point (m) considéré comme apj)artenant à la 

 circonférence {ab) , il viendra h*=ma X mb. 



