J. B. Brasseur. — Surfaces du second degré. 161 



De même, si h' est la hauteur du point (m) considéré comme appar- 

 tenant à la circonférence (a'b'), il viendra également h"' = ma' X »"'^'; 

 or, les cordes a6 et ai' étant anti-parallèles, on a d'après (5) wm X*'*'&= 

 ma X «'&'; donc aussi h^ := A" et h =h'. Donc la verticale élevée au 

 point m rencontre les deux circonférences au même point, et par con- 

 séquent, ces deux ci!xonférences se coupent. 



J4. Les surfaces, construites d'après la définition précédente, sont 

 des surfaces du second degré (*) , ce que nous démontrerons, plus 

 loin, en prouvant qu'une droite ne peut les rencontrer en plus de deux 

 points chacune. 



15. Dincirice.— La courhe quelconque du second degré, qui sert à 

 construire une surface du second degré, sera nommée directrice, et 

 son plan sera toujours pris pour plan horizontal de projection, à 

 moins qu'on n'avertisse du contraire. 



10. Lignes des centres. — Les deux diamètres égaux respectivement 

 conjugués aux deux systèmes de cordes anti-parallèles seront nommés 

 lignes des centres , parce qu'en effet les centres des deux séries de 

 circonférences se trouvent respectivement sur ces deux diamètres. 



17. (9j»6«7/'cs.— Les extrémités des hgnes des centres sont précisément 

 les points que Monge a nommés les ombilics de la surface. 



18. Plans directeurs. — Les deux plans verticaux, auxquels les plans 

 des deux séries de circonférences sont l'espectiveraent parallèles, 

 seront nommés plans directeurs. 



19. Eeux circonférences quelconques d'une même série seront nom- 

 mées indifféremment génératrices circulaires, ou sections circulaires, 

 })arallèles; et deux circonférences quelconques appartenant respec- 

 tivement aux deux séries seront dites génératrices circulaires, ou sec- 

 tions circulaires, anti-parallèles. 



20. De ce qui précède, il résulte qu'une suiface du second degré est 

 entièrement définie : l^par sa directrice et l'une de ses deux lignes des 

 centres 5 2" par sa directrice et par la direction des cordes conjuguées 

 à l'une des deux lignes des centres, c'est-à-dire, par sa directrice et la 

 projection de l'un de ses deux plans directeurs. 



Lorsque, dans le courant des démonstrations qui vont suivre, nous 

 parlerons d'une ligne des centres, d'un plan directeur et de génératrices 



(*) On trouve an Musée de l'Universilc l'ellipsoïde, le paraboloïde 

 ciliplique et riiypcrboloïde à une nappe que j'ai fait exécuter d'après 

 celle définition. 



12 



