16-4 J. B. Brasseur. — Surfacea du second degré. 



plan, constamment incliné d'une même quantité sur le plan de la direc- 

 trice, reste toujours parallèle aux cordes conjuguées à ce diamètre, cette 

 circonférence engendrera une surface du second degré. 



%i. Lorsqu'une section méridienne d'une surface du second degré 

 est prise pour nouvelle directrice, nous la nommerons directrice 

 oblique, afin de la distinguer de la directrice unique considérée jus- 

 qu'ici, que nous nommerons directrice principale (laquelle se réduit 

 aux deux arêtes principales pour le cylindre ou le cône). 



3S. Une surface du second degré admet donc, pour une même géné- 

 ration, une infinité de directrices planes ; mais de toutes ces directrices 

 il n'y en a qu'une, la directrice principale, qui puisse servir à la double 

 génération, parce que c'est la seule qui passe par les deux lignes des 

 centres et qui, par suite, coupe les deux séries de génératrices circu- 

 laires de la surface. A cette occasion nous ferons la remarque géné- 

 rale : lorsqu'une surface a été engendrée par une certaine génératrice 

 et un certain nombre de directrices; toute courbe, quelle qu'elle soit, 

 qui coupe toutes les positions de la génératrice , peut remplacer l'une 

 des anciennes directrices et servir avei; les autres pour engendrer la 

 même surface , par le moyen de la même génératrice. 



36. Une surface du second degré étant donnée par une directrice 

 oblique, une ligne des centres et l'inclinaison du plan directeur sur le 

 plan de la directrice, ce qui permet de construire une série de géné- 

 ratrices circulaires; si l'on veut construire l'autre série, il faudra re- 

 monter à la directrice principale, en déterminant la section faite dans 

 la surface par un plan mené parla ligne des centres perpendiculaire- 

 ment au plan directeur, ou perpendiculairement à une génératrice 

 circulaire quelconque. De là résulte que : 



57. Lorsque deux surfaces du second degré ont une ligne des centres com- 

 mune et même plan directeur, les plans de leurs directrices principales 

 coïncident ; car par cette ligne on ne jjcut mener qu'un seul plan per- 

 pendiculaire au plan directeur commun. 



,38. Propriété. — Dans toute surface du second degré, deux généra- 

 trices circulaires anti-parallèles quelconques sont toujours situées sur une 

 même sphère , qui n'a d'autres points communs avec la surface que 

 ceux de ces deux génératrices, et dont le centre est dans le plan de la 

 directrice principale ; mais deux génératrices circulaires parallèles ne peu- 

 vent jamais se trouver sur une même sphère. 



Démonslralion. — Deux génératrices circulaires quelconques anli-pa- 

 rallèles se projettent sur le plan de la directrice principale dans deux 

 cordes anti-paralièles, et la circonférence, que l'on peut toujours faire 



