J. B. Brasseur. — Surfaces du second degré. 168 



passer par les extrémités de ces deux cordes anti -parallèles (8) , sera 

 évidemment un grand cercle de la sphère, sur laquelle les deux géné- 

 ratrices circulaires seront situées. Que deux génératrices circulaires 

 parallèles ne puissent se trouver sur une même sphère, cela résulte 

 de la seconde proposition énoncée au numéro (8). 



Pour prouver que la sphère n'a d'autres points communs avec 

 la surface que ceux des deux génératrices circulaires , on coupera la 

 surface et la sphère par des plans respectivement parallèles aux deux 

 plans directeurs et l'on verra que les deux sections circulaires faites 

 par un même plan, l'une dans la sphère , l'autre dans la surface pro- 

 posée , ne se coupent pas , ou bien doivent se couper sur l'une des 

 deux génératrices circulaires anti-parallèles proposées. 



On déduira sans peine , en se référant au numéro (9) ,1e corollaire 

 énoncé ci-après. 



39. Propriété, corol.— Une sphère qui passe par une génératrice cir- 

 culaire d'une surface du second degré ne peut couper de nouveau la sur- 

 face que dans une génératrice circulaire anti-parallèle. 



40. Centre. — Le centre de la directrice d'une surface du second degré 

 est aussi le centre de celte surface, c'est-à-dire que le milieu de toute droite 

 menée par le centre de la directrice et terminée de part et d'autre à la sur-- 

 face coïncide avec ce centre. 



Démonstration. — Une ligne des centres est un diamètre commun à 

 tous les méridiens qui passent par cette ligne; les centres de tous ces 

 méridiens coïncident donc avec celui de la directrice. 



Or, toute droite, menée par le centre de la directrice et terminée de 

 part et d'autre à la surface, est un diamètre du méridien dont le plan 

 passe par cette droite et l'une des lignes de centres. Donc, le milieu 

 de cette droite coïncide avec le centre de la directrice. Donc, etc. 



Ai. Autrement. — Oï\ peut démontrer directement cette proposition 

 en prouvant qu'une droite qui joint un point quelconque de la surface 

 avec le centre de la directrice étant prolongée d'une quantité égale 

 à elle-même , l'extrémité de la droite ainsi prolongée se trouve sur la 

 surface. 



Soient (fig. G) l'ellipse ah a h' la directrice principale de la surface , 

 c le centre de la directrice et //' la ligne des centres. 



Soit m la projection d'un i)oint quelconque de la surface, cm sera la 

 projection de la droite qui unit ce point avec le centre de la directrice. 

 En prolongeant cm d'une quantité cm' = cm ; cm' sera la projection 

 de la droite prolongée d'une quantité égale à elle-même si les 

 hauteurs verticales des deux points (w), {m') situés l'un au-dessus, 



