166 J. B. Urassi-Vr,— Surfaces du seiundiJcc/ir. 



l'autre au-dessous du plan de projection sont égales. 



Les deux cordes parallèles ab, o7/ conjuguées à la ligne des centreset 

 menées parju etm' sont les projections des deux génératrices circulaires. 



Cela posé : 



Le point (»;) appartenant à la surface se trouvera sur la génératrice 

 circulaire (ab) et en désignant par h sa hauteur il viendra /t'^ = 

 CTO X 6»i; pour que le point(TO') soit sur la surface, il faut qu'il se trouve 

 sur la génératrice circulaire («'Z>') et pour cela que l'on ait h-^=am'yi 

 b'm, h' étant la hauteur du point [m'). Maintenant il reste à prouver 

 que h=h' c'est-à-dire, que a'm'yib'm' = amy^bm. 



A cause de cm = cm', les deux cordes parallèles ab , a'b' sont 

 égales , et les deux triangles t, t' égaux : d'où l'on déduit sans peine 

 que les deux segments am, bm sont respectivement égaux aux deux 

 segments a'm , b'm et par suite que am X b'm' T=am X bm. 

 Donc etc. 



En nommant diamètre d'une surface du second degré, toute droite 

 menée par le centre et terminée de part et d'autre à la surface, on dé- 

 duit delà démonstration précédente le corollaire que voici : 



42. Corollaire. — Les deux génératrices circulaires parallèles qui jms- 

 sent par les extrémités d'un diamètre sont égales. 



43. Plans principaux. — Dans toute surface du second degré, le plan de 

 la directrice principale et les plans verticaux projetés dans les axes de la 

 directrice sont des plans principaux , c'est-à-dire, que chacun de ces plans 

 divise en deux également toutes les cordes qui lui sont perpendiculaires. 



Bémonslration. —Var un point quelconque de lasui'face nous mène- 

 rons à l'un de ces plans ime perpendiculaire que nous prolongerons 

 d'une quantité égale a elle-même , et il suffira de démontrer que 

 l'extrémité de la perpendiculaire ainsi prolongée se trouve sur la 

 surface. De cette manière la démonstration sera générale, car il sera 

 prouvé qu'une droite ne peut rencontrer une surface du second degré 

 en plus de deux points. (Même observation à faire au numéro Al). 



Soient(fig. lOj l'ellipse abb'a la directrice principale de la surface; 

 les cordes anti-parallèles ab,ab', les projections de deux génératrices 

 circulaires anti- parallèles; les axes xx, yij de la directrice, les pro- 

 jections de deux plans verticaux , et m la projection d'un point quel- 

 conque de la surface. 



Cela posé, mp perpendiculaire à }pj sera la projection de la per- 

 pendiculaire menée du point (vt) au plan vertical yy, et pm'^r.pm sera 

 la projection de cette perpendiculaire prolongée d'une quantité égale 

 à elle-même. Les deux cordes anti-parallèles ab , ab' menées par m et 

 m' seront les projections de deux génératrices circulaires anti-paral- 

 lèles de la surface. 



