J. B. Brasseur. — Surfaces du second degré. 167 



Puisque le point [m) est sur la surface, il est sur la génératrice 

 circulaire (ab) et l'on a /r =aîny:bi)i, h étant la hauteur du point (m). 

 Pour que le point (m') soit sur la surface, il faut qu'il se trouve sur la 

 génératrice circulaire [ab') et pour cela que l'on ait h'- =^a'm' y:j)'in' , 

 K étant la hauteur du point [m') ; et à cause que la droite [mm') est 

 une horizontale , il restera à prouver que /t=/i' ou bien que am X ^ni 

 = a! m' X Vm' . 



Or, par construction mm' est parallèle à l'axe xx , et mp=im'p-^ 

 d'où l'on conclut facilement que les deux cordes anti-parallèles ah, a'b' 

 sont égales et qu'elles sont divisées par »Hm' de manière que ma^= 

 m'a' et mb = m'V . D'où h = h'. Donc etc. 



On déduit de la démonstration précédente le corollaire que voici : 



Coroliaiie. — Les deux génératrices circulaires anti-parallèles guipas- 

 sent respectivement par les extrémités d'une corde parallèle à l'un des axes 

 de la directrice sont égales. 



Il est facile de démontrer la propriété ci-après sans faire usage 

 d'aucune figure. 



44. Propriété. — Tout plan passant par une ligne des centres est un 

 plan diamétral dont les cordes conjuguées sont parallèles au plan direc- 

 teur et perpendiculaires à la direction de l'intersection du plan directeur 

 avec le plan proposé. 



45. Propriété. — La surface du second degré , qui a pour directrice le 

 système de deux droites qui se coupent, est une surface conique. 



Bémonslradon.—So'ninl (fig. J2) le systèmedesdeuxdroites sa', sa" la 

 directrice de la surface du second degré et les cordes parallèles 

 a'a", h'b", ce", etc. inscrites dans l'angle a'sa", les projections d'au- 

 tant de génératrices circulaires de la surface. Cela posé, pour dé- 

 montrer que la surface est conique, il suffit évidemment de prouver 

 que toute droite, partant du point s et qui rencontre une de ces géné- 

 rât rices circulaires, les rencontre toutes. 



Soit sabc. etc. la projection d'une droite partant du point s et s'ap- 

 puyant sur la génératrice circulaire {a'a") et soient o, h, h'. A", etc. 

 les hauteurs respectives des points [s), {b), (c), etc. on aura : 

 sa : h = sb : h' = se : h" = etc. 



ou bien sa : h-=sb : h'^ = se : h"-= etc. {«.) 

 A cause que le point (a) est sur la génératrice circulaire [a'a") ,il 

 vient h- = aa' X««"et pour prouver que les autres points (/>), (c), 

 etc. se trouvent respectivement sur les génératrices circulaires (b'b"), 

 (c'c") . etc. il suffit de faire voir que 



h'^ = bb'^Ahb", h" '- — cc'X ce", etc.. (/S) 

 Or la figure donne 



m' : aa' X aa" — sif : bb'% bb" — 7c : cc'yicc" = e(c... (y) 



