168 J. B. Brassedr. — Surfaces du second degré. 



comparant («) à (y), en observant que /«*= aa' X ««"•. on'en conclura 

 les égalités (/3). Donc etc. 



46. Propriété. -^ Une droite ne peut rencontrer une surface du second 

 degré en plus de deux points. 



Démonslralion. — Nous démontrerons d'abord qu'un cône , dont le 

 sommet est en un point quelconque de la directrice d'une surface du 

 second degré et qui a pour base une section circulaire quelconque 

 de la surface , n'a d'autres points communs avec elle , à part le 

 sommet, que ceux de la section circulaire. Ainsi il sera prouvé que 

 toute droite menée d'un point quelconque de la directrice ne peut 

 rencontrer de nouveau la surface qu'en un seul point. 



Soient (fig. 5) l'ellipse ah Va la directrice principale de la surface, 

 et la corde ah la projection d'une section circulaire , prise pour base 

 d'un cône ayant son sommet en un point quelconque 5de la directrice; 

 il faut démontrer qu'un point quelconque de l'espace , tel que celui 

 projeté en m et qui n'appartient pas à la section circulaire (ai), ne 

 peut se trouver à la fois sur la surface du cône et sur la suiface pro- 

 posée. 



Pour cela menons par le point {m) le plan vertical a"')" parallèle à 

 c/;; il coupera le cône suivant une circonférence ayant pour diamètre 

 a"l)" et la surface proposée suivant une circonférence ayant pour 

 diamètre a'//. Cela posé, ces deux circonférences devraient se couper 

 pour que le point («0 put se trouver à la fois sur la surface du cône 

 et sur la surface proposée ; mais cela est impossible , car deux circon- 

 férences ne sauraient se couper, lorsque leurs diamètres sont sur une 

 même droite et que les extrémités de l'un de ces diamètres se trouvent 

 entre les extrémités de l'autre. 



Comme la démonstration que nous venons de donner ne cesse pas 

 d'exister si l'ellipse a /W/a' , au lieu d'être la directrice principale, 

 était une directrice oblique de la surface, il en résulte qu'une droite, 

 menée par un point quelconque d'une surface du second degré , ne 

 peut rencontrer de nouveau celle-ci qu'en un seul point. Eonc etc. 



Bemarque. — La démonstration que nous venons de donner convient 

 à l'ellipsoïde et au paraboloïde elliptique ; pour l'étendre à l'hypcrbo- 

 loïde à une nappe, il faut établir au préalable la propriété ci-après. 



47. Propriété. — Par cliaqiie point de l'Iiyperholo'ide à une nappepassent 

 deux droites qui rencontrent chacune toutes les génératrices circulaires de 

 cette surface. 



Bémonsiration.—Soieni (fig. M ) les cordes parallèleso'a", b'b", cV',etc. 

 les pi-ojections d'un nombre quelconque de génératrices circulaires 



