J. B. Brasseur. — Surfaces du second degré. 1C9 



de l'hyperboloïdeàune nappe et a la projection d'un point quelconque 

 de sa surface. 



Imaginons le cône qui a pour base la génératrice circulaire (a a") 

 passant par le point (a) , et pour sommet le point de contact de la 

 tangente tabc... etc. menée par a à l'hyperbole directrice; je dis que 

 l'arête du cône qui se projette dans la tangente tabc... etc. rencontre, 

 outre la génératrice circulaire {a'a") , base du cône , encore toutes les 

 autres génératrices circulaires de l'hyperboloïde. 



L'arête (faôc. etc.) étant une droite de l'espace, si h, h', h", etc. 

 sont les hauteurs respectives des points (a) , (6) , (c) , etc. on aura : 

 ta : h = lb : h'=tc : h" = etc 

 ou bienV : h^:^W : A'^=V : A"2=etc...(m). 



Le point (a) étant sur la génératrice circulaire (a'a") on a:/i^=aa'Xaa"; 

 et pour démontrer que tous les autres points (6) , (c) , etc. de l'arête 

 {to6c...etc.) se trouvent respectivement sur les génératrices circu- 

 laires {b'b") , {ce") , etc. il suffit de prouver que 



/i'2 = hb' X bb", h"^ = ce X cc'\ etc. 



Or toute tangente tabc. etc. à une hyperbole divise un système 

 quelconque de cordes parallèles a' d' , h h", c c", etc. menées entre 

 les deux branches , de manière que l'on a (10) 



la : «a'X ««" =~^^ : &&' X hb" =^c : ce' y,cc" — etc 

 comparant cette proportion à (m) U vient : 



h'- : aa' X aa" =: h''- : bb' X bb" = h'" : ce' X ce" = etc. 

 et de ce que h^ = ad. aa"., il en résulte que 



A'2 = bb' X bb", h"' = ce' X ce", etc. 



ce qu'il fallait démontrer. Par les mêmes raisonnements on établira 

 que la seconde tangente à l'hyperbole, que l'on peut mener para, est 

 la projection de la seconde droite qui rencontre toutes les génératrices 

 de l'hyperboloïde. Donc, etc. 



Maintenant il sera facile de démontrer qu'une droite ne peut ren- 

 contrer l'hyperboloïde à une nappe en plus de deux points sans y être 

 située tout entière. 



48. Le cône, qui a pour base une génératrice circulaire d'une surface 

 du second degré et pour sommet le point de rencontre des deux tangentes à 

 la directrice tnenées par les extrémités de la corde , projection de la géné- 

 ratrice circulaire , est un cône circonscrit à la surface. 



Démonstration. — Soit {Rg. 9) l'ellipse a b h'd la directrice princi- 

 pale de la surface et la corde ah la projection d'une génératrice oii-- 



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