170 J. B. Brasseur. — Surfaces du second degré. 



culaire. Soient sa , sb les deux tangentes à la directrice , menées pa 

 les extrémités de cette corde : il s'agit de faire voir que le cône , dont 

 le sommet est en s et qui a pour base la génératrice circulaire pro- 

 jetée en ah , n'a d'autres points communs avec la surface que ceux 

 de cette génératrice. 



Remarquons d'abord que les deux tangentes m, sh sont les arêtes 

 principales de ce cône, qu'elles se coupent sur le diamètre conjugué 

 à la corde ab et par suite sur la ligne des centres .se de la surface pro- 

 posée ; donc le cône et la surface proposée ont une ligne des centres 

 et un plan directeur (ah) communs. 



Maintenant, en supposant que le point quelconque projeté en m, et 

 qui n'est pas situé sur la génératrice circulaire (ab), puisse appartenir 

 à la fois à la surface du cône et à la surface proposée, si l'on mène par 

 ce point (m) le plan vertical a"b" parallèle à ah , ce pian coupera le cône 

 suivant une circonférence , ayant pour diamètre a"h" et la surface 

 proposée suivant une circonférence, ayant pour diamètre a';6';ces 

 deux circonférences devraient se couper au point projeté en m , pour 

 que le point {m) pût appartenir à la fois à la surface du cône et à la 

 surface proposée. Or , ces deux circonférences sont concentriques et 

 de rayons différents , et ne sauraient ni se couper ni coïncider. 

 Donc etc. 



49. Corollaire. — Tout cône, qui touche une surface du second degré 

 suivant une génératrice circulaire, a un plan directeur et une ligne des 

 centres communs avec la surface proposée; les arêtes principales de ce 

 cône sont tangentes à la directrice principale de la surface. 



50. Corollaire. — Tous les cônes qui touchent une surface du se- 

 cond degré , dans une même série de sections circulaires , ont leurs 

 sommets sur la ligne des centres de ces sections. 



51. Corollaire. — Toutes les tangentes, menées par un même point 

 d'une ligne des centres d'une surface du second degré à tous les méri- 

 diens qui passent par cette ligne , forment un cône qui touche la surface 

 suivant une génératrice circulaire ayant son centre sur cette ligne et par 

 suite le cône et la surface touchée ont une ligne des centres commune et 

 même plan directeur. 



52 Propriété. — Si à toutes les génératrices circulaires d'une même 

 série d'une surface du second degré , on mène des tangentes par les points 

 dans lesquels ces génératrices sont rencontrées par une section méridienne , 

 l'ensemble de ces tangentes constituera une stirface cylindrique qui 

 par construction sera circonscrite à la surface proposée. 



