172 J. B. Brasseur. — Surfaces du second degré. 



tangent, on mènera par le point donné un plan vertical parallèle au 

 plan de la génératrice circulaire ; ce plan coupera le cône suivant une 

 circonférence à laquelle on mènera, par le point donné, une tangente. 

 La droite qui joint le point de contact de cette tangente avec le som- 

 met du cône sera l'arête touchée. 



Voyez (fig. 13). se est la ligne des centres , m est la projection du 

 point donné ayant une hauteur égale à h, la corde ab conjuguée à se 

 est la projection de la génératrice circulaire donnée , s est le sommet 

 du cône qui touche la surface suivant la génératrice circulaire 

 (ab) , etc. , enfin x est la projection du point de contact du plan tan- 

 gent cherché. 



Le problème précédent est possible tant que par le point donné 

 on peut mener un plan tangent au cône auxiliaire qui touche la sur- 

 face dans la génératricecirculaire donnée, c'est-à-dire, tant que le point 

 donné est sur le cône ou hors du cône ; et il devient impossible 

 lorsque le point donné se trouve dans l'intérieur du cône. 



Or, parmi tous les cônes qui touchent chacun la surface dans une 

 génératrice circulaire il s'en trouvera un dont une arête passera par 

 le point proposé. Ce cône, que nous nommerons cône limite, touche 

 la surface proposée dans la génératrice circulaire limite, c'est-à-dire 

 que le problème est impossible pour toute génératrice circulaire 

 située au-delà de cette génératrice limite. 



53. Cône et génératrice circulaire limites. — Construire un cône 

 qui doit toucher une surface du second degré suivant une génératrice 

 circulaire à déterminer et dont une arête doit passer par un point 

 donné. [Cette arête sera tangente au méridien dont le plan passe par le 

 point donné.) 



Solution. — Soient (fig. 7) se la ligne des centres, dd le plan directeur 

 de la surface et m la projection du point proposé ayant une hauteur 

 égale à /;. On mènera par le point proposé [m] un plan auxiliaire a'b' 

 parallèle au plan directeur dd de la surface; ce plan coupera le cône 

 limite à construire suivant une circonférence de cercle qui aura son 

 centre en c sur la ligne des centres se de la surface et qui passera par 

 le point proposé («0; on aura donc le rayon de cette circonférence en 

 cherchant la distance du point proposé au point e. {r est cette distance 

 ou ce rayon rabattu autour de la charnière ab'). 



Connaissant le rayon d'une section circulaire du cône, on pourra 

 construire la projection a7>' de cette section , en prenant ca = cb' = 

 r. Cela fait, si par les extrémités de cette projection on mène les deux 

 tangentes aa , bb' à la directrice, ces deux tangentes sei'ont les arêtes 

 principales du cône limite et la corde ab qui unit les deux points de 



