VIII. Sur les transformées de l'équation du second degré 



à deux variables ^ 



par J. MARTTNOWSKI , 



Répétiteur de mathématique > à l'Ecole des arts-et-maoufaotures et de» 

 mines de l'Université de Liège. 



1. Le but immédiat de la construction d'une équation du second 

 degré, à deux variables, étant d'assigner la position de l'origine et 

 des axes, pour lesquels la transformée de l'équation proposée soit 

 la plus simple possible : c'est à rechercher les diverses transformées 

 auxquelles, en employant les formules de transformation , on peut 

 ramener l'équation générale, que je me suis borné principalement. Il 

 n'est point question ici des lignes du second degré, ni de leurs propriétés 

 caractéristiques : objets pour lesquels je renvoie aux traités de géo- 

 métrie analytique plane; mais seulement des diverses formes d'une seule 

 et même équation du second degré, à deux variables, et de la relation 

 qui existe entre ces formes. 



Pour rendre la question aussi générale que complète , je rapporte 

 constamment les systèmes de points, représentés par l'équation géné- 

 rale, à des axes des coordonnées comprenant l'angle quelconque *. Ce 

 point de départ est nécessaire pour deux motifs : d'abord le choix des 

 axes n'est pas toujours arbitraire ; ensuite il influe , sinon sur le 

 genre, du moins sur la variété de la courbe. Par exemple, l'équation 

 x*-|-î/* — r*=o représente tantôt un cercle et tantôt une ellipse , 

 selon que les axes, dont on fait choix, sont rectangulaires ou 

 obliques. 



Pour donner l'idée du genre des difficultés que présente la re- 

 cherche des transformées de l'équation générale, je ne citerai qu'un 

 seul fait. Personne, à ce que je sache, n'a donné les coefficients des 

 transformées aux axes conjugués rectangulaires, pour toutes les 

 courbes du second degré, d'une manière aussi générale que je le fais, 

 c'est-à-dire en prenant, pour point de départ , les axes primitifs com- 

 prenant l'angle quelconque s. C'est que , dans cette sorte de re- 

 cherche , on est toujours aux prises avec deux équations du second 

 degré , dont la combinaison conduit à une équation finale du qua- 

 trième degré. Je parviens à lever ces difficultés en établissant les 

 diverses propositions, qu'on trouve consignées dans ce mémoire. 



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