178 J. Martt>owski. — De l'équation générale du second degré. 



2. On sait que les lignes du second degré sont des systèmes de 

 points représentés par des équations du second degré, à deux variables, 

 et dont la forme générale est 



At/' -4- Bx!/ -+- Cx» H- Dy -♦. Ex -4- F = ; (a) 



A,B,C... étant des constantes; x , y, les coordonnées d'un point 

 quelconque de la ligne que représente cette équation. Comme l'équa- 

 tion (a) ne peut être du second degré que quand des trois constantes 

 A, B et C, l'une quelconque au moins n'est pas zéro; on voit que , dans 

 la discussion des formes particulières de cette équation , on n'aura que 

 deux cas à considérer : ou l'équation (a) est de la forme 



Bxy -H Dî/ -<- Ex -♦- F = ; (b) 



ou bien , A et C n'étant pas nuls à la fois , elle est résoluble par rap- 

 port à 2/ ou à jr , savoir : 



2Ay = — Bx — Ddb^/(wx*-«-2j(-t-s) ) ,. 

 2Cx = — Bî/— E±|/{my«-f.2H?/-*-s') i '^ 



expressions dans lesquelles on a , pour abréger, 



B*— 4AC=m,BD — 2BE=n,D^— 4AF = s, 

 BE — 2CD = n', E» — 4CF = s'. 



Telles sont les formes générales et particulières de l'équation du 

 second degré à deux variables. Voyons maintenant comment on peui, 

 au moyen de la transformation des coordonnées , ramener ces équa- 

 tions à d'autres plus simples. 



3. Transformée générale. — ■ Soient X , Y les axes , comprenant 

 l'angle quelconque « , auxquels on rapporte les systèmes de points , 

 représentés par l'équation (a) ; soient hetk les coordonnées de la 

 nouvelle origine ; f et f les directions des nouveaux axes ; u et u les 

 distances prises sur ces axes par rapport à l'unité de projection 

 oblique sur X , savoir 



M»=l.-.- f2-»-2f. cos«,u'*=l-»-f*-f-2r.cos»: 



les formules , qui expriment les coordonnées primitives en fonction 

 des nouvelles , seront 



i 'x' y" , fx' Hy' 



u u' u u ' 



Cela posé, mettons ces expressions de x et y dans l'équation (a), et 

 nous aurons la transformée générale représentant la même ligne, 

 mais rapportée à des axes différents d'une autre origine : 



