180 J. MARTTifOWSKi. — De V équation générale du second degré. 



on ne peut combiner ces équations (e) avec une autre quelconque, 

 qu'on obtiendrait en égalant à zéro un autre coefficient de la trans- 

 formée (d). Le seul moyen de faire subsister les équations (e) est de 

 supposer t = o , t' = oc. Or, cette hypothèse répond au passage à des 

 axes parallèles, lequel se fait indépendamment de toute valeur par- 

 ticulière de f et t' ; et, par conséquent, il en est de même de l'évanouis- 

 sement des termes en x' et y'. 



2° Evanouissement du ternie indépendant et de l'un des termes en x et 

 y. — En égalant à zéro le coefficient du terme en y' et le terme indé- 

 pendant , on a 



{2Ak -f- BA -♦- D) t' -H 2CA -t- Bi -H E = o, 



Afc^ -H Bkh -H CA* -♦- DA: -«- EA -+- F = 0. 



On voit d'abord que tf ne peut pas être variable ni admettre plus 

 d'une valeur constante : car si cela avait lieu , la première équation se 

 partagerait en ces deux : 



2AAH-BA-»- D==o, 2CAh-BA-*-E = o; 



ce qui ferait évanouir à la fois les termes en x' et y, contre 

 l'hypothèse et changerait de plus l'équation ci-dessus du second degré 

 en A et A en une équation de condition. Supposons maintenant que 

 t' n'admette qu'une seule valeur : l'équation qui le contient ne peut 

 subsister avec la suivante , à moins que celle-ci ne donne que des va- 

 leurs uniques à A et à A. Pour nous assurer de ces conditions , résol- 

 vons l'équation en question par rapport à A ou A , savoir : 



2AA = _ BA — D ± V/(mA2 -♦- 2nA -h s). 



Cette équation ne pouvant donner une valeur unique pour A, à 

 moins que le radical ne soit nul, on a nécessairement 



2AA -«- BA -»- D =: , mh^ ■+■ 3!,nh -»- s = 0. 



La première de ces équations renverse déjà l'hypothèse de t' cons- 

 tant ; car en supposant le trinôme 2CA -<- BA -h D quelconque, l'équa- 

 tion ci-dessus en f donne t' = oo. Par suite de cette valeur de t' qui 

 rend aussi u' =: ce, le coefficient de y', dans l'équation (d), devient 

 proprement 2AA -*- BA -+■ D, et par conséquent, indépendant de toute 

 valeur particulière de t'. 



De toute la discussion précédente, je conclus que, la détermination 

 simultanée de la nouvelle origine et des directions de nouveaux axes , au 

 moyen de V évanouissement des termes en x et y', ou de l'un d'eux et du 

 terme indépendant , sont deux opérations non-seulement distinctes , mais 

 entièrement incompatibles. 



