J. Martïnowski. — De l'équation gêiii'rale du. second degré. i8S 



d'axes conjugués rectangulaires. En résolvant cette dernière équation 

 par rapport à f , on trouve 



2 A cos»-B)f=-(A— C)±|/ [(A— Cf-»-(2Acos ^— B) (2Ccos«-B)] 



expressions, dont la quantité affectée du radical peut se mettre sous 

 cette forme 



B^ -»- (A -t- C) cos 9. B -f- (A H- Cf — 4AC sin « 



qui ne peut se décomposer qu'en facteurs imaginaires par rapport 

 à B. Par conséquent ces expressions de t sont toujours réelles , quels 

 que soient la constante B et le binôme B- — 4AC. D'où il résulte que, 

 le passage de v par qo est généralement possible, tandisque celui de la 

 même quantité v par o ne l'est que lorsque le binôme B-— 4 AC > o , 

 ci-dessus 4°. 



6° En représentant par î , i' les angles que les directions t et t' peu- 

 vent faire avec l'axe des x , on aura , comme on sait : 



sin i , sin i' 



sin {s — i) sin («' — i'] ' 



de sorte que t et t' peuvent aussi changer de signes , soit en passant 

 par zéro , soit par l'infini. 



Venons-en maintenant à la discussion des valeurs de v , f et t'. 



En résolvant les équations (2) et (3) par rapport à v, on trouve 



2 (Af -t- Bf -t- C) sin e 



^~ (2Acos« — B) <^H-2(A — C)f-H(B — 2Ccos«) , ,. 

 2 (Ar -+- Bf -<- C) sin (5 > ^^'^ 



V =■ 



(2 A cos ? — B) r- H- 2 (A — c) r -H (B — 2 C cos e) 



Cela posé , nous aurons deux cas à considérer dans la discussion des 

 valeurs de v : ou v change de signe en passant seulement par oo , ou 

 bien en passant en même temps par oo et par o. 



Occupons-nous d'abord du premier de ces deux cas. 



On sait , qu'un trinôme du second degré conserve toujours le même 

 signe pour des valeurs particulières de la variable , ces valeurs étant 

 comprises entre celles qui rendent le trinôme zéro , et qu'il change 

 de signe , pour des valeurs particulières de la variable , qui excèdent 

 les limites de son passage par zéro. Le trinôme A(- -+- Bt h- C ne pou- 

 vant changer de signe , dans le cas qui nous occupe , ci-dessus 4° , le 

 changement du signe de v ne peut nécessairement provenir que du 

 dénominateur de son expression. Cela posé, si l'on veut que v soit de 

 même signe , dans les expressions (4) , il faut et il suffit que f étant 



in 



