!88 J. MÀRrYxo>fvsKi. — De Véquatiuii générale du second degré. 



pris en dedans des limites qui rendent v infini , t' soit en dehors de 

 ces limites , ou réciproquement. Si l'on observe maintenant que l'ex- 

 pression (1) de i' et celles ci-dessus (4) doivent fournir une même 

 valeur pour v ; on en conclura aisément que v se comporte à l'égard 

 de t et t' de telle manière : que si t est en dedans, t' est en dehors des 

 limites qui rendent v infini, ou réciproquement. 



Lorsque v peut passer en même temps par o et par oo , par suite 

 du binôme B- — 4 AC > o , voici les circonstances qu'on peut remar- 

 quer dans la construction de t et t'. En supposant d'abord qu'une 

 valeur de t rende v positif, dans la première des expressions (4) , il 

 suffit que f rende les deux termes de la seconde des expressions (-1) 

 de signes 'contraires ; ce qui exige que t et {' étant pris en dehors 

 de l'une des deux limites qui rendent v égal à zéro, n'excèdent pas les 

 limites qui rendent v infini. Ces considérations démontrent qu'.'utre 

 les deux limites qui rendent v infini , il ne se trouve qu'une seule limite 

 qui rende v égal à zéro , et réciproquement. 



Comme on change l'équation (^) en (5) en changeant v en — r , il 

 en est de même des valeurs particulières de t et f ; de sorte que les 

 racines correspondantes aux mêmes signes des radicaux des équations 

 (2) et (3) sont les directions des axes conjugués. 



9. Pour abréger la discussion des valeurs de v, t et t' , il faut rendre 

 la question des axes conjugués indépendante des limites du passage 

 de V par zéro ou par infini. 



Cherchons, pour cet effet , la transformée aux axes conjugués rec- 

 tangulaires. En prenant, pour les directions f et t' de la transformée 

 (1) , les racines de l'équation 



(2 A cos 5 -- B) f2 _t- 2 (A — C) f -K (B — 2 C cos 5) = (1) 



on a vu , n° 8 , b° que la condition (m) en est satisfaite ; par suite de 

 cette hypothèse , (1) prend la forme 



My- -t- Nx^ -+- F' == fn^ 



dans laquelle , on a, pour abréger, 



Af'^ -4- Br -+- C ^ kf- -4- Bt -*- C ^ ^ 



r- -»- 2 f cos « -I- 1 ' r- -+- 2 f cos ^ -H i 



M et N doivent être tels, qu'en résolvant ces équations par rapport à 

 t' et t, on n'ait que des valeurs uniques pour chacune de ces dernières 

 quantités; car autrement, on aurait deux valeurs différentes pour 

 V et autant pour (, en tout quatre valeurs propres à satisfaire à l'équa- 

 tion ci-dessus (1) : ce qui est impossible. En résolvant l'équation 

 jen (M) par rapport à t' , on a 



