J. Marttnowski. — i?e l'équation générale du second degré. 187 



2(A— M)«'=— (B— 2Mcos*)±V/ [(B— SMcos^r— 4 (A— M)(C— M)] 

 équation qui ne peut donner une valeur unique à t', à moins que son 

 radical ne devienne nul par lui-même. Cela posé, on aura d'une 

 part 



2 (A — M] r = — (B — 2 M cos f) , 

 et d'autre part 



4 sin^ s. M- — 4 (A -H C — B cos ^) M — (B^ — 4 AC) = o (2). 



La première de ces équations donne t' en fonction de M ; la seconde 

 détermine M. On trouve le même résultat pour N. Comme M et N 

 d'ailleurs sont des quantités différentes , puisque t et t' le sont par 

 hypothèse ; on voit que cela ne se peut faire qu'en supposant que M et 

 N soient les racines de l'équation ci-dessus (2) , savoir : 



2sin2».M=(AH-C-Bcos5)-f.l/ [(A-4-C-Bcos^f-«-(B^— 4 AQsin^s] , 



2sin^*. N=(A-*-C— B cos^) — j/ [ (A-+-C— B cos «f -+- (B-— 4 AC) sin^ *] , 



iO. En posant B = o et remplaçant A et C par M et N , dans l'équa- 

 tion (I) , on aura une transformée relative à (n) , savoir : 



Mf'-i- N , Mf- -f- N , Mtt' -H N ^ 



-^71- r - -^j- X- -^-— _. 2 .y * F =. o; (0) 



t et t' désignant actuellement les tangentes trigonométriques des angles 

 que les nouveaux axes font avec celui des axes conjugués rectangu- 

 laires de la transformée (u) qu'on prend pour axe des x. On fera dis- 

 paraître le produit xij de la transformée (o) , en posant 



Mtt'-+-N = o (1). 



La tangente trigonométrique de l'angle compris , par les dii-ections 

 t et t' , étant désignée par v , on a 



t — t' 



(2), 



1 -t- W 

 et éliminant t' , 



M/-— r(M— N)fH-N = o (5) 



équation , dont les racines t, et t^ sont 



2Mî=(M--N)t;±|/ [(M— N)- v' — i MN] (4) . 



Il est aisé de prouver que t, et t, ne satisfont pas à la condition (J) 

 et (i) , ci-dessus , et par conséquent qu'ils ne sont pas les direction^ 

 des ax-es conjugués. Pour trouver les conjuguées des directions t , il 

 faut changer r en — v , et l'on aura 



