188 J. Martinowski. — De l'équation générale du second degré. 



^Mt' = -^ (M— N) V ± 1/ [ (M— N)^ v^ — 4 MN] (5). 



En représentant les racines de t' par i\ et t\_ , on trouvera que les 

 racines des équations (4) et (S) ci-dessus, qui correspondent au même 

 signe du radical , sont les directions des axes conjugués , puisqu'elles 

 satisfont aux conditions ci-dessus (1) et (2). 



La discussion des équations (4) et (S) ci-dessus confirmerait les 

 résultats généraux , auxquels nous sommes parvenu , n" 8. 



1 1. En résolvant l'équation (2) du n" 8 , par rapport à t, 



[(2 Acos» — B)v— 2 Asin«]*=— (A— C)t' -+- B sin » 



±î/ j[(A— C)--<-(2Acos^— B)(2Ccos^— B)](j^-^(E2^4AC)sin«' |; 



on voit que l'angle compris par les axes conjugués ne peut être quel- 

 conque, puisqu'on donnant à v une valeur particulière, il se pourrait 

 que la quantité qui se trouve sous le radical, devenant négative , ren- 

 dît f imaginaire. 



D'abord, v peut être un minimum, sien égalant la quantité affectée 

 du radical à zéro ; l'équation 



[(A— C)^-*-(2Acos«— B)(2Ccos«— B)]aj = -<-(B-— 4AC)sin-s=r0 



et qui est la même chose que celle qui suit 



[ (A -H C — B cos ^ )2 -*- (B-— 4 AC) sin^ «] v^ -f- (B=— 4 AC) sin- f = o, 



ne donne que des valeurs réelles pour v. Pour que v soit réel, il faut 

 que B- — 4 AC étant <o, le coefficient de v ^ soit positif. Or, on a 

 vu, n" 8, 5°, que le coëllicient de i;- est essentiellement positif, quel 

 que soit le binôme B - — 4AC. Delà il résulte que v^ ne peut être un 

 minimum , autre que zéro, que lorsque la binôme B^ — 4AC est un 

 nombre négatif. 



En recourant à l'équation (2) du n" 9 , dont nous avons représenté les 

 racines par M et N , on a 



,, ^, A-f-C — Bcosf „^^, B^— 4AC 



sin-^ 4sin2« 



de sorte qu'en introduisant ces relations dans l'expression de v^ , ci- 

 dessus , il vient 



,._ ^MN _ 4_MN_ 



(M-<-N)-— 4 MN (M— N)- * ' 



Cette expression de v^ fait voir que l'angle minimum des axes con- 

 jugués, peut être constant ou droit, si M = ]\, c'est-à-dire si les 



