J. Marttnowski. — De l'équation générale du second degré. 191 



systèmes d'axes conjugués, n° 8 , se confondent ici deux à deux avec 

 deux droites, dont nous venons de trouver les directions ci-des- 

 sus (1), et qui ne sont autre chose d'ailleurs que les racines de l'équa- 

 tion At■-^-Bt-^-C = o 



Les droites doubles , dont les directions sont données ci-dessus 

 (1) , ont reçu le nom d'assymptotes , à cause d'autres propriétés que 

 celles que nous venons de leur trouver. 



En prenant les assymptotes pour les axes de la transformée (1) , on 

 lui donnera la forme suivante : 



B'. a;i/-»-F' = 0, (r) 



dans laquelle 



B'. 1/ [ (A+C — B cos ef -*- (B^— i AC) sin^ « ] = - (B^ — 4 AC) , 



ou bien en nous servant des coefficients (n) , 



B'. (M— N) = — 4 MN. 



La tangente trigonométrique de l'angle compris par les assymptotes 

 étant représentée par v , on trouve 



singv/(B-— -^AC) 

 " ■" A -H C — B cos ^ 



On voit que l'angle compris par les assymptotes ne peut être zéro , 

 puisque le binôme B"^ — 4AC est positif quelconque. Mais il peut 

 être droit , lorsque la relation entre A , B , C et « est telle qu'on ait 



A -H. C — B cos^ = 0. 



La transformée (r) , que nous venons de trouver , a la même forme 

 que celle en (k), issue de (b). On peut aussi ramener l'équation (k) ou 

 (r) à la forme (1). Pour cet effet , il suffit de poser en (1) , A=o , C=o , 

 et l'on aura la transformée relative à {k) , savoir : 



Bf , Bf „ B(t-i-0 , >x. 



— .y- H . X' -+■ — !^ .xij-i-i =0. [S) • 



u'- ^ u^ uu' 



Le produit a;?/ de cette équation disparaît pour t-f-f'=o: ce 

 qui prouve que l'une des assymptotes divise la sécante parallèle à 

 l'autre et comprise par les axes conjugués en deux parties égales. 



En joignant à la condition t -t- 1' = o , cette autre l -+- (f -^0 cos b 

 M- «' t= , qui exprime que l'angle compris , par les axes conjugués , 

 est droit; on trouve, en éliminant t', t-—i ■= o , d'où f = ± 1 , 

 f'= _1_ 1, Bien, qu'il y ait deux systèmes d'axes conjugués rectangu- 

 laires , ces deux systèmes se confondent en un seul. 



