i. iV. Noël. -^ Propositions de Géomi'trie appliquée. 21 1 

 De la Résolution numérique des triangles reclilignes. 



K. Lorsque deux angles du triangle scalène sont donnés, le troisième 

 est connu ; les trois angles ne peuvent donc compter que pour deux 

 données , et pour une seule ou pour aucune, si le triangle est rectangle 

 ou isocèle, ou s'il est équiltitéral. Les éléments générateurs du triangle 

 scalène sont: deux angles, les trois côtés, le périmètre, les trois 

 hauteurs , le rayon du cercle inscrit , celui du cercle circonscrit et 

 ceux des trois cercles exinscrits; ce qui fait déjà 14 éléments généra- 

 teurs ou descriptifs du triangle. Et comme, en général, la connaissance 

 de trois éléments distincts suffit pour déterminer le triangle scalène , 

 on voit qu'étant donnés trois quelconques des lÂ éléments ci- dessus, la 

 délermination graphique ou, numérique du triangle fournit ^^â problèmes 



différents, du moins en apparence; car plusieurs de ces problèmes 

 peuvent rentrer les uns dans les autres , OU êtl'C indéterminés ou impos- 

 sibles, suivant les valeurs particulières des données. 



Ce nombre de problèmes serait bien plus élevé , si l'on faisait m- 

 tervenir, comme éléments générateurs du triangle, les droites qui 

 joignent les sommeis aux milieux des côtés opposés , les bissectrices 

 des trois angles, les segments qu'elles déterminent sur les côtés , etc. 

 Mais , remarquons-le bien , il y a toujours plusieurs de ces problèmes 

 qui rentrent les uns dans les auli'es ; et c'est ainsi qu'en se bornant 

 aux cinq éléments générateurs, savoir : les trois côtés et deux angles, 

 comme on le fait ordinairement en trigonométrie; les dix problèmes 

 généraux , pour la résolution numérique du triangle scalène , se ré- 

 duisent à quatre, essentiellements différents. 



Observons encore que })lusieurs des 5o4 problèmes ci-dessus , bien 

 que déterminés et possibles , ne peuvent se résoudre avec la règle et 

 le compas . même en s'aidant du calcul , pour parvenir à la construc- 

 tion. Tel est, par exemple , le problème où, connaissant l'aire et les 

 rayons des cercles inscrit et circonscril , on cherche les côtés; tel est 

 . aussi le problème où, le rayon du cercle inscrit et deux côtés étant 

 donnés , on cherche le troisième côté. Mais le triangle se construit 

 aisément quand on connaît un côté, le contait sur lui et le rayon du 

 cercle inscrit , ou bien deux côtés et les contacts sur eux , etc. 



Observons enfin , que tous les problèmes sur la résolution numé- 

 rique des triangles rectilignes, dépendent plus ou moins immédiate- 

 ment de celui-ci : Connaissant numériquement deux côtés et Vanyle 

 compris , résoudre le triangle. 



On a plusieurs solutions de ce problème, où il faut rendre les for- 

 mules calculables par logarithmes ; mais comme les deux plus simples 

 ne sont pas aussi généralement connues qu'elles méritent de l'élrc , 

 nous allons les développer ici , d'après le principe des projections ; lequel 



