2!2 J. N. NoKL. — Propositions de Géométrie appliquée. 



peut fournir toutes les relations de la trigonométrie. 



I. Nous désignerons toujours par les grandes lettres A , B , C , les 

 Irois angles du triangle ABC, et parles petites lettres a,b,c, les côtés 

 respectivement opposés à ces angles. Ainsi A , B , C , sont les valeurs 

 numériques en degrés , minutes et secondes, des angles proposés; 

 tandis que a, è, c, sont les rapports des côtés à l'unité linéaire, au 

 mètre, par exemple. 



La résolution des triangles , où les angles sont représentés par les 

 lignes trigononiétnqueii , a pour but de trouver des relations entre 

 quatre des six nombres A, B,C, «,■&,£, et surtout de rendre ces 

 relations calculables par logarithmes , si elles ne le sont pas. 



Ces relations sont nécessairement homogènes , puisqu'elles se com- 

 posent uniquement de droites censées divisées par l'unité linéaire m et 

 par le rayon R des tables , pour les lignes trigonométriques. Le rayon 

 R vaut 10 '° ; mais pour simplifier, on suppose ordinairement R = 

 I=M. De cette manière, les relations ne sont plus toutes homo- 

 gènes, du moins en apparence; mais comme chaque ligne trigono- 

 métrique est toujours censée divisée par R, il suffit, pour établir 

 l'homogénéité , de faire reparaître ce diviseur R , ou plutôt de l'intro- 

 duire un nombre de fois suffisant , comme facteur , dans chaque terme 

 de degré inférieur. 



IL Cela posé , soit h la hauteur menée du sommet A sur la base a, 

 et t l'aire du triangle ABC , d'où t=\ ah-, soient b' et c' les projec- 

 tions des côtés 6 et c , déterminées sur a par la droite projetante h -. 

 b' et c' sont adjacentes aux angles C et B ; et suivant que l'angle B est 

 aigu ou obtus, on a « = c' -i- t' ou a= i' — c. Dans le premier cas , 

 h' = b cos C et c' = c cos B, d'où a=6 cos C-[- c ces B ; dans le second 

 cas, 6' = 6 cos C et e'= c cos (180"— B) , d'où a = b cos C — c cos 

 (180° — B). Le premier cas fournit le second en changeant cos B en — 

 cos (180° — b); de sorte qu'il nous suffira de considérer la relation 



a =6 cos C-j- c cos B,... (i) 

 pourvu que quand l'angle B est obtus on y change cos B en — cos 

 (180° — B). 



Comme h est aussi la projection de b ou de c sur sa direction , on a 

 simultanément A = fc sin C= csin B, et cela quand même l'angle B 

 serait obtus. On aurait de même , fc sin A = a sin B; donc 



a : sin A = & : sin B = c : sin C... (2) 

 De plus, il est clair qu'on a , pour le double de l'aire t, 

 '2t = ab sinC = ac sin B = icsin A... (3) 



in. Si le triangle ABC est rectangle en A , d'où sin A= 1 , on aura 

 simultanément 



i'= i cos C , c' = c cos B , i = n cos C , 



