J. N. Noël. — Propositions de Géométrie appliquée. 213 



= a cos B , A = i cos B et A = c cos C. 

 Eliminant donc les cosinus et observant que 6' -f- c' = a , il vient 



b^=ab', c^=ac', h^=b'e' et b^ -+- c*=a^... (4) 

 Par ces relations et ah=bc, étant données deux quelconques des six 

 droites numériques a,b,c, V , c', h, on peut toujours calculer les 

 quatre autres. 



On conçoit que ce problème général peut en fournir un grand nom- 

 bre d'autres, selon les conditions particulières ; ainsi d'après les choix 

 des inconnues et des méthodes d'élimination ; on peut calculer les trois 

 côtés a, b, c, dans les huit systèmes particuliers que voici, où^-— a-n 

 6-f-c : 



fc' = 20etc'=5; 

 o = 2S et fc -^ c -H A=37,72 ; 

 b-t-c=7 eih = %Jt; 

 o=i3et ah = 60; 



a-t-h—Ufl^etp^^Q; 



ic = 120etp = -40; 



o— A = ia,28etfe— c=17 



On peut aussi chaque fois calculer les angles B et C ; car on a les 



deux relations 



fc = osinB=: ocos C,> /^ 



fc=ctangB=ccotC.i- ^' 

 Enfin si a était donné numériquement , aussi bien que m dans m* — 



bh , le côté c serait racine de l'équation 



e' — a^ C-+- atn^ = ; 



laquelle , pour o = 5 et w^ = 9, 6 , devient (c— 3) (c^-h3 c— i6)=0. 



IV. Reprenons les relations (1) et (2) , que l'on peut écrire ainsi : 



c cos B = a — b cos C et c sin B = 6 sin C 



Elevant de part et d'autre au carré, puis ajoutant membre à membre, 



et réduisant d'après sin^ x ■+- cos- xi=l , il vient 



c*=a2-*-Z>2— 2oftcosC... (6) 

 Cette relation s'applique au cas où l'angle C est obtus en y changeant 

 cos C. en— cos (180»— C). D'ailleurs b'^hcosC; donc 



c'est la relation que l'on démontre ordinairement par la simple géo- 

 métrie, et une seconde expressiçn du théorème (6). Ce théorème four- 

 nissant trois équations entre les six parties du triangle, suffit pour 

 calculer trois quelconques de ces parties , les trois autres étant don- 

 nées numériquement. Mais les formules résultantes ne sont pas tou- 

 jours logarithmiques ni les plus simples , même en se servant d^ncon- 

 nues auxiliaires , comme pour calculer c lorsque a , 6, C sont donnés. 

 D'ailleurs la connaissance des trois angles ne peut compter que pour 

 deux choses données ; mais si alors le problème doit être indéterminé, 

 on peut toujours du moins calculer les rapports x et y , dans a=cx et 

 b^cy. Substituant en effet dans l'équation (4) et ses deux analogues, 



TOME 1 , 2° PARTIE. 



