214 J. N. Noel. — Propositions de Géométrie ujipliquée, 



il en résulte 



1/ cos A -j- X cos B = I , 



y — X cos C = cos \ , 



x — y COS C = COS B. 

 Ces trois équations du premier degré donnent aisément 



X sin- C = cos A cos C-)- cos B , 



y sin'C==cos B cos C-j-cos A, 



cos^ A •+■ cos^ B -+■ cos^ C-^2 cos A cos B cos C =1. , . (7) 

 De plus ,x = a'. c = sin A : sin C et y -=0 : c = sin B : sin C. D'ail- 

 leurs — cos B = cos (A H- C) ; donc 



cos (A-hC) = cos A cos c — sin A sin C... (7) 

 On est donc ainsi conduit à l'une des quatre formules fondamentales 

 de la trigonométrie. Il est facile d'en déduire les trois autres en y 

 changeant A en 90" — A , d'où 



sin (A — C) = sin A cos C — sin C cos A ; 

 puis en changeant C en — C dans cette formule et la première (7). 



V. Cherchons maintenant les formules logarithmiques qui se pi'ésen- 

 tent d'abord pour résoudre le triangle dont on connaît numérique- 

 ment les deux côtés a et 6, avec l'angle compris C. 



Menant du sommet A la hauteur h et désignant par b' et c' les p.ro- 

 jections des côtés i et c sur la base a , on aura évidemment 



c' -=0 — b' . b' = b cos C, h=b s'mC, 



h = c' tang B , o sin B= i sin A et ^= } oi sin C. 

 Ainsi en faisant reparaître le diviseur R, on aura 



c'=a— Z»',R6' = 6cosC,RA = fcsin C, ) ,«, 



RA= c' tang B et 2R< = afc sin C. ]'" ^ ' 



Toutes ces formules homogènes sont calculables par logarithmes : la 

 première c' = a — b' , qui devient c =a-\-b' quand l'angle C est 

 obtus, fait connaître c' au moyen de b' , déterminé par la seconde; la 

 troisième fait connaître h; la quatrième, tang B et par suite l'angle 

 B ; d'où il vient l'angle A = 180" — B — C ; enfin , la dernière déter- 

 mine l'aire t. Ainsi sans compter l'aire (, déjà donnée par t = ^ah , 

 il ne faut ouvrir les tables que six fois , pour résoudre le triangle , dans 

 ce cas. La vérification des calculs peut se faire par b-=b'^ -*- A^, ou par 

 a sin B = 6 sin A , etc. 



Cette solution , directe et très-simple , n'est pas indiquée dans les 

 traités de trigonométrie .- elle a été donnée par les élèves couronnés 

 à Bruxelles au concours général des collèges , en i84J. Quoique celte 

 marche soit la plus naturelle , elle n'est cependant pas la plus simple 

 pour résoudre le problème proposé : il existe , pour cet effet, des for- 

 mules logarithmiques, dont le calcul exige qu'on ouvre seulement les tables 



cinq fois. Il est surprenant que ces formules, indiquées, sans démon- 



