J- N. Noël. — Propositions de Géométrie appliquée. 21 S 



Strations, dans le Bulletin des sciences mathématiques, etc. , mars 1831, 

 ne soient pas généralement enseignées. Déjà nous les avions indiquées 

 en 1850, puis appliquées, en 1833 , dans la 2« édition du traité de 

 géométrie. Mais on peut les démontrer plus simplement , à l'aide du 

 principe des projections, comme il suit : 



VI. Considérons le triangle quelconque ABC (fîg. à tracer ; chose 

 facile). Les deux côtés o et i, avec l'angle compi-is C, étant donnés 

 numériquement , soient d et e les longueurs des bissectrices de l'angle 

 Cet de l'angle extérieur supplémentaire, depuis le sommet C jus- 

 qu'aux points D et E où elles coupent BA ou c et son prolongement ; 

 de sorte que CD = rf et CE = e.- Il est clair que ces deux bissectrices 

 sont perpendiculaires entre elles et qu'ainsi l'angle E est complément 

 de l'angle CDE= x, et l'angle ACE = 90° — ^C. De plus , projeter 

 le côté AB ou c sur la direction CD , c'est en même temps y pi'ojeter 

 les côtés 6 et a; si donc l'angle A>- B , d'où le côté a > 6 , il est clair 

 que la projection du côté c sur CD , savoir c cos x, est la différence 

 des projections des côtés a et 6 sur CD , savoir o cos jC et i cos ^C. 

 On a donc 



c cosa:=(o — b) cos ~C... (9) 

 La projection du côté c sur la direction EC est c cos E ou c sin x , 

 tandis que les projections des côtés a et 6 sur EC sont a cos (90°— i C) 

 et b cos (90°— fC) ou a sin |-C et 6 sin ^C II est clair d'ailleurs que 

 la projection de c est la somme des deux autres ; donc 

 c sin a? = (o-t-Z>) sin iC... (10) 

 L'angle X étant extérieur au triangle CBD, on a x=B4-7C, et 

 puisque l'angle x est aigu , il en est de même de l'angle B. Substituant 

 cette valeur de x , puis divisant (9) par (10) , il vient les formules 

 cherchées : 



ccos(B-4-iC) = (a— i)cosiC, ) 

 csin(B + iC) = (a-f6)sin fC, [... (11) 

 (a-4-6) cot (B-t- i-C) = {a—b) cot i C. ) 

 Toutes ces formules homogènes sont logarithmiques : la troisième fait 

 connaître l'angle B f- -j C = x et par suite l'angle B = x—|-C; d'où 

 l'angle A = 180° — B — C. Et comme les logarithmes du sinus , du 

 cosinus , de la tangente et de la cotangente se trouvent dans la même 

 page des tables , il aura fallu ouvrir celles-ci 4 fois, pour avoir x ; et 

 il ne faudra plus les ouvrir qu'une fois , pour avoir c , ^r l'une des 

 deux premières formules (M); lesquelles fournissent un moyen de vé- 

 rification , puisqu'elles doivent donner la même valeur à c 



Cette solution étant la plus simple et par conséquent la plus exacte, 

 doit être préférée à toutes les autres , où il faut ouvrir les tables 7 oa 

 8 fois. Prenons par exemple, le principe ordinairement employé, et 



