216 .T. N. Noël. — Proposiliotis de Géométrie appliquée. 



pour établir ce principe, observons que 5-C«=90'' — i (A h-B) ; d'où 

 B-H i C-=90»— i (A-B) et cot (B -h- i C)=tans ^ (A-B). La troi- 

 sième formule (Û) devient donc 



a -{- fc : a — 6 : : cot i C : tang ^ ( A — B). 

 Par cette proportion , les tables font connaître la demi-différence n 

 des angles A et B , d'où i (A— B) = m : on connaît déjà leur demi- 

 somme s = 90° — i C, d'où \- (A+B) == s ; on aura donc A =s-j- n 

 et B = s — n. 



Connaissant ainsi les trois angles, on trouvera le troisième côté c 

 par la proportion sin A ". sin C : : a 1 c ; ainsi il faudra ouvrir 8 fois 

 les tables. 



Ce procédé est donc le plus compliqué et celui où les causes d'erreurs 

 sont les plus nombreuses. Si la détermination de n était inexacte , 

 l'erreur se détruirait en ajoutant les trois angles ; mais les propor- 

 tions des sinus donneraient deux valeurs différentes au côlé c Cette 

 vérification exigerait qu'on ouvrît les tables onze fois en tout ; tandis 

 que par les deux bissectrices , la vérification de c demande seulement 

 6 fois l'ouverture des tables. 



VII. On peut aussi calculer les deux bissectrices dete; car il existe 

 deux couples de triangles rectangles semblables , dont la comparaison 

 des côtés homologues fournit 



«sin^C : Z»sin|C :: ocos ^C—d: d—b cos^C, 

 a cos iC : A cos I C : : e -J- o sin i C : e — i sin | C. 

 De là résultent les deux formules logarithmiques 



(a + b)d = ^abcosiC,l .„. 



(o — Z>) e = 2aZ» sin I C. ] - ^*^^ 

 Ces formules conduisent à résoudre le triangle, connaissant les deux 

 côtés aei b, avec l'une des deux bissectrices d ou e. Mais si l'on con- 

 naissait numériquement les deux bissectrices d et e , avec l'angle C , 

 on pourrait aussi résoudre le triangle ; car outre d tang a; = eR , on 

 aurait b sin {x -}- ^ C) = d sin x , etc. 



VIII. Ajoutant membre à membre les carrés des équations (9) et 

 (10) , on trouve 



c2 = (a— 6)^cos^ iC-f (a4-è)2sin*^C. 

 Cette relation , comparée au théorème (6) , donne 

 cos C=cos*iC — sin^iC... (13) 

 Substituant successivement, dans l'expression de c% les valeurs 

 1— cos' i C et 1 — sin^i- C de sin^ ^C etcos^ J-C; réduisant, transpo- 

 sant et décomposant en facteurs ; posant d'ailleurs a + Z> -}- c = 2p 

 et faisant reparaître le diviseur R , on aura les formules logarithmi- 

 ques connues : 



