J. N. Noël. -~ Propositions de Gêométrk appliquée. 217 



aZ>COS'-iC=R'p(p — c); [ ...(14) 



p ip-c) tang^ i C = RMi»- ») (P - h). ) 

 Ces formules et la dernière , de préférence , servent à calculer les 

 trois angles, connaissant numériquement les trois côtés. Et comme 

 alors sin C = 2 sin \ C cos \ C, il vient , pour l'aire t du triangle et 

 pour les bissectrices rf et e , 



f'=p{p — a)[p — b){p — c), V 

 {a ^ bf cf" == abpip — c) , \ ... (IS) 



la — hf&' = ah{p — a)[p — h).\ 

 Combinant par multiplication et par division les valeurs de tang' ■; A 

 et tang^ i B , on trouve , réductions faites , 



a -*- b — c c-t- [a — h) 



tang 5- A = r cot |- B= -, r, tang \ B. 



"^ a -*- b -*- c ^ c — (a — b) "* 



Connaissant donc numériquement l'angle B , le côté c et la somme ou 

 la différence des deux autres côtés , cette double formule servira à 

 résoudre le triangle proposé. 



Problèmes déterminés. 

 6. La trigonométrie et l'emploi des tables fournissent, de la manière 

 la plus simple et la plus exacte , la solution de tout problème déterminé 

 de géométrie numérique , en diminuant les causes d'erreurs , et en 

 réduisant au plus petit nombre possible les données de la question. 

 C'est ce qu'on peut remarquer dans le calcul de la distance entre deux 

 objets inaccessibles, problème qui reçoit divers énoncés et où les for- 

 mules (11) jouent un rôle important ; c'est aussi ce qu'on remarque 

 dans les problèmes déterminés que nous allons indiquer. 



I. Quatre objets inaccessibles A, B, C, D , sont en ligne droite et ne 

 peuvent être vus que du seul point O , où l'on se trouve; comment cal- 

 culer la distance BC = z , connaissant les longueurs AB = ael CD = b? 



Tel est le problème des cinq points , où l'inconnue s est donnée par 

 une équation du second degré et où il faut une inconnue auxiliaire ,. 

 pour appliquer le calcul logarithmique. 



II. Réduire à un seul terme la somme algébrique de quatre sinus ou de 

 quatre cosinus. Ce problème, déjà traité par M. Cauchy , fournit quatre 

 formules entre les trois angles quelconques a, b , c. On peut y par- 

 nir par les quatre formules fondamentales de la trigonométrie ; et si 

 l'on pose a-\-b-\~c=s, on trouvera 



sin (» — 2c) -{- sin (s — 2&) -f- sin s — sin [s — 2a) = 4 sin a cos bcosc, 

 sin (s — 2c) -|- sin (s — 2i) -j- sin (« — 2a) — sin s = 4 sin o sin J sin c , 

 cos [s — 2c) -j-- cos (s — 2ft) -j- cos (s — 2o) — cos s = 4 cos a cos Z> cos c , 

 cos (j — 2c) 4- cos (s — 26) — cos(s— i2a)— cos5 = 4cosasin i sin c. 

 Ces formules s'appliquent aux trois angles d'un triangle ; à leurs 



