218 J. N. Noël. — Propositiuiis de Gêomélrie appliquée. 



doubles et à leurs moitié; mais on peut vérifier directement les systèmes 

 de formules qui en résultent et en déduire d'autres remarquables. 



III. Développer tang s et cot s ou les exprimer au motjen des tangentes 

 et des colangentes des trois angles a , b , C. Les développements s'a[)pli- 

 quant aux trois angles d'un triangle ; à leurs doubles et à leurs moitiés, 

 à leurs triples et à leurs tiers , etc. Il en résulte plusieurs formules 

 remarquables et utiles à certaines réductions analytiques. 



IV. On peut trouver quelle est la ligne Irigonométrique x dans chacune 

 des équations : • 



(tang o -|- cot o — 2 sin 2a) x = 2 ces 2o ; 



9a;^ = 9 -j- 4 COS^ a ; (1 — tang^ a) X- = COS 2a ; 



(séc- a — coséc- a -j- 4 COSéc- 2a) a; := 2 séc a ; 



x COS 2a = cot a — tang a — cot 2a ; ix- =ô-\- séC' a ; 



Sx = tang a -{- cot a — 2 cos Ha ; sin 30" -4- ^ cos 50» = 1 ; 



a: COS o — sin a = 1 ; 2x tang a — 1 = séc^ O; 



X- cot a — tang a = cot a ; àx cos a — coséc a == cos a séc 2a. 



V. On peut résoudre le triangle dont on connaît les trois angles et le 

 rayon v du cercle circonscrit ou l'un des rayons des cercles inscrit et 

 exinscrits. Dans le premier cas , on a simultanément 



o = 2 r sin A , 6 = 2 r sin B , c = 2 r sin C ; 



t == 2r- sin A sin B sin C et art = abc. 

 Soit r' le rayon du cercle inscrit : on a d'abord 



a = r' (cot i B-f- cot i C) ; 

 et ensuite 



r' cos j A = a sin ■^B sin 7 C. 

 Cela donne 



r' cos 7 B = A sin I- A sin 4 C , 



r' cos ^ C = c sin I A sin 7 B , 



r' = ir sin I A sin I- B sin ^ C. 

 Soient a', 6', c', les rayons des cercles exinscrits aboutissant res- 

 pectivement aux trois côtés a, 6 , c II est aisé de voir que 



a=a' (tang i- B -4- tang ~ C). 

 De là et de ce qui précède, on tire les quatre systèmes : 



a' cos f A=a cos i B cos | C 

 6'cos|B-=5cosiAcosi-'c 

 c'cos-jC=c cos-^ A cos -5 B 

 a'=r' coti-B cot ~C 

 b'=r cotiAcoti-C 

 c'=/7cot-A cot f B 



a=r' sin •j A cos } B cos|C 

 b'=:h- sin i B cos ^ A cos -j C 

 c'=4r sin 4 C cos 7 A cos ~ B 

 i==r'« cot f A cot i- B cot -^ C 

 t=a^ cot T A tang ~ B tang i- C 

 t—b'- cotifi tang i A tang ^ C. 



Connaissant b', c' et r, on aura les trois angles par 



%■ cos A = A' -»- c — 2r et ir cos t A sin i (B— C) = c 

 Connaissant a , r et r' ,on aura les trois angles par 



