J. N. NoiîL. Proposilions de Géomélrie appliquée. iàlO 



a=2r sin A , « cot r=2/' et sin v cos ^ (B— Cj = cos {v-*- j A). 

 La bissectrice d de l'angle C est donnée par 



cos !• (A — B) d = »• sin A sin B. 

 VI. On a des formules pour calculer la somme algébrique des sinus 

 et des cosinus, soit des trois angles du triangle, soit de leurs doubles 

 ou de leurs moitiés. Par ces formules ,sif,g,h sont les distances du 

 centre du cercle circonscrit aux trois côtés a,b,c, d'où 



/■=rcos A , 9 = »-cos B et A = r cos C; ... (16) 

 on trouve les dix relations que voici , expressions d'autant de théorèmes, 



faciles à énoncer : 



/■_]- <7 4- A = r -f- r' , 9 -f- A — /•= o' — r, 

 fJ^h—g = b' — r, f-\- g — h=c' — r, 

 a'J^b' -{-c' = r -|- kr, â ^h' — c — Ah — r' , 

 u'J^c' — b'^ig — r\ i' 4- c' — o' = Af— r' , 



1 : o'-|- 4 : 6'+i : c' = d : / et <* = o' v c f. 

 Substituant dans la formule (7') les valeurs des trois cosinus , tirées 

 de (ICj, il vient pour calculer le rayon r, l'équation 



r^ — [p 4- g^- 4- ]^) r — '2fgh = 0. ... (17) 

 Cette équation n'ayant qu'une seule racine réelle positive , il n'existe 

 qu'un seul triangle , dans lequel les distances/", jr, h soient données 

 et positives ; mais le rayon r et par suite le triangle ne peut se con- 

 struire que quand deux des trois distances sont égales entre elles , ou 

 bien pour les valeurs particulières de ces distances , qui rendent le 

 rayon r rationnel. 



VU. Soient ^ , wi , n les dislances du centre du cercle inscrit aux 

 sommets A, B , C ; on aura 



r' = ks'in i A, r' = msin iB et r' = « sin f C...(18) 

 mais cos A H- cos B •+• cos C — 1 == -4 sin i A sin ^ B sin | C donne 

 sin^i A 4- sin'- ^- B4-sin== i C 4- 2 sin i A sin i B sin i C=I. 

 Substituant donc les valeurs des sinus des demi-angles, tirées de (18), 

 et posant l sur r' =: x, 1 sur kt=.K., l sur wi = M et 1 sur « = IN , 

 il vient 



s^ — (K^ -t- M2 -f.. N^) a: — 2 KMN = 0....(19) 

 Celle équation, complètement analogue à l'équation (17), ne peut se 

 résoudre généralement que quand m = n, par exemple. On a d'ailleurs 



Jirr'^ = kmn, 

 Cequiest remarquable, c'est que l'équation (19) s'applique exactement 

 anx distances k, m, n de l'un des centres des trois cercles exinscrils. 



VIII. On aurait encore une équation du §" degré pour calculer la corde 

 X du tiers de l'arc dont 2q est la corde , dans le cercle de rayon r. Les 

 triangles semblables donnent , en effet , 



3;3__3r2.t;4- V'j^O. 



