220 J. N, Noël. — Propositions de Géométrie appliquée. 



Celle équation peut se résoudre généralement, 1° lorsque 5= 0, 2" 

 quand q =r. Dans tous les autres cas , l'équation ne peut se résoudre 

 que par approximation ; mais avec un bon compas , x peut toujours se 

 trouver en tâtonnant, et donner une approximation suffisante. 



Soit j:- le côté du polygone régulier de 14 côtés inscrit dans le cercle 

 dont r est le rayon : par des triangles isocèles et semblables, on 

 trouve , pour calculer x , l'équation. 



x' — rx- -— ^r'' X -1- r^ = 0, 



Ici encore il est préférable de tâtonner avec le compas . comme pour 

 le polygone régulier inscrit de 18 côtés , dont le côté x est donné par 

 a;4 -H rx^ _ 2r2x2 — 2r ^ a; -f- r^ = 0. 



IX. La connaissance des trois angles et du rayon r du cercle circons- 

 crit au triangle t, suffit pour résoudre les quatre triangles qui joignent 

 les centres des quatre cercles inscrit et exinscrits à (. I! en résulte que , 

 1° le rayon de l'une quelconque des circonférences circonscrites à ces 

 quatre triangles est égal à 2r ; 2" si des centres des cercles exinscrils, 

 on abaisse des perpendiculaires sur les côtés de t et non sur leurs pro- 

 longements , ces perpendiculaires vont se couper au centre du cercle 

 circonscrit au triangle t' joignant les trois centres proposés ; 3° les cen- 

 tres des trois cercles circonscrits aux trois autres triangles sont les 

 intersections, deux à deux , des perpendiculaires abaissées des sommets 

 det' sur les prolongements des côtés de t; Â" ces six perpendiculaires 

 sont côtés , égaux à 2r, d'un hexagone symétrique équivalent à 2f' ; 

 .5° si p désigne le demi-périmètre du triangle t', on aura i'=r Spr; 6° la 

 somme des distances du centre du cercle inscrit dans t aux sommets de 

 *' est double de la somme des rayons des cercles inscrit et circonscrit à 

 t'; et il existe encore plusieurs autres relations remarquables, faciles à 

 découvrir, d'après ce qui précède. 



X. Il arrive parfois qu'une équation , contenant plusieurs lignes tri- 

 gonométriques d'un même arc, suffit pour déterminer cet arc et l'expri- 

 mer en degrés ; d'où résulte sa longueur en unités rectilignes lorsque 

 son rayon r est donné numériquement. II faut pouvoir alors transformer 

 l'équation de telle sorte qu'elle se réduise à une seule ligne trigonomé- 

 trique et des nombres connus ; et si l'on se rappelle la valeur de cette 

 ligne pour les angles de 30, 60 et -45% on trouvera , sans le secours des 

 tables, la valeur de l'angle a , dans chacune des équations que voici : 



tang a tang | o =: I j cot o col i o = 1 



2 sina tang |a = 1 

 2 sin o séc i a = 3 

 2 sin o ± 2 cos a = |/2 

 2 cos o -t- 2 séc a = 5 



2 sin a cot | a = 1 

 2 sin a coséc i a = S 

 2 sin a -|- 2 coséc o = 5 

 séc a -f- coséc o =2 J,/ 2 

 tang o + cot a = 2^/2 j coséc= a — séc' a = 2 |/ 2 



