séc» a •+■ coséc'' a = 8 



2 sin a tang a— 2 8éc o=j/â 



tanp a — sin a cosa =sin^ a 



J. N. NoEL. — Propositions de Géométrie appliquée, 221 



2 sin' a — 2 cos^ a .-= — |/ 3 

 2 coséc a — 2 cos o cot o = 1 

 cot a — sin a cos a = cos* a- 



XI. Non seulement on peut construire l'arc x dans l'équation 

 séc" X -\- coséc ^ j- — 4 = -4 cot 2 .t ^/ 3 ; 

 mais de plus a: est indépendant de a , 6 , c , dans le système : 

 2 tang a = tang b , sin a = sin b sin c , 

 [sin 5 cos a ± J/ (sin^ fc — sin * a)] tang a: = sin a cos 6. 



On trouve , en effet , 2 sin 2 ;r = 1 ; d'où 2 x = 30° et 2a; =150°. 



La seconde des trois équations proposées serait l'équation auxiliaire , 

 qu'il faudrait poser pour calculera: , au moyen des deux autres. En géné- 

 ral , c'est par des équations auriliaires que F on peut calculer les binômes 

 dont les termes ne sont donnés que par leurs logarithmes , comme dans 



s = sin A ± « cos B sin Â . . . (20) 

 Il faudra , pour le signe -{- , prendre tang ^ t; = w cos B , et pour le 

 signe — , on posera cos ' » = n cos B , si le second membre est plus 

 petit que l'unité. Mais si n cos B ^ 1 , on fera 1 -\~ tang- « = w cos B ; 

 et alors x sera négatif : cela revient à poser « cos B = séc^ z. 



Dans a; = sin A ± n cos A , l'équation auxiliaire est tang v=n. Mais 

 si X = tang A ± « cot A , il y aura , pour le signe — , deux cas à dis- 

 tinguer, comme pour (20). On peut aussi traiter x = séc A ± n coséc A. 



Dans chacun de ces derniers exemples , si x est donné numérique- 

 ment , aussi bien que le coefficient n , on pourra calculer l'angle A , aussi 

 bien que dans x = tang A ± w tang B , si l'angle B est connu. 



XII. Lorsqu'un angle est déterminé par son sinus , son cosinus , sa 

 tangente ou sa cotangente, il a toujours deux valeurs , s'il ne doit pas 

 surpasser §60°. Si donc un problème doit avoir deux ou quatre solutions, 

 lorsque les données et les inconnues sont des droites numériques , ce 

 qui suppose une équation finale du second ou du quatrième degré , il 

 sera avantageux de se servir des angles , comme choses données et in' 

 connues , non seulement parce que l'équation finale s'abaissera alors au 

 premier ou au second degré ; mais surtout parce que le calcul de l'in- 

 connue sera plus simple et plus exact , en recourant , s'il est nécessaire , 

 à des angles auxiliaires. 



Par exemple , un point étant donné sur la bissectrice de l'un des angles 

 2a , formés par deux droites qui se coupent , et à la distance d de leur in- 

 tersection , sommet rfe 2 a ; si l'on veut mener par ce point , une droite telle 

 que sa portion entre les deux droites proposées , ait la longueur connue c ; 

 on reconnaît d'abord que le problème est susceptible de quatre solutions. 



Prenant donc pour inconnue l'angle x , compris entre d et la première 

 partie de c , on trouve aisément 



d sin a d sin a 



nr- 



sni 



[x -}- a) sin {x — a) 



