222 J. N. Noël. — Propositions de Gèotnélrie appliquée. 



Posant d= en et cot v = n cos a , l'cquation proposée , du second 

 degré en sin x, donne, réductions faites , 



sin j: = sin a cot ^v el s'm x ^= — sin a tang | v. 



II est donc facile de calculer et d'interpréter les quatre valeurs de a? qui 

 donnent les quatre solutions cherchées. 



L'ancrle 2a peut valoir 60° ou 90° et tout autre nombre, moindre que 

 860°. Dans tous les cas, le minimum de c répond a x = 90°. 



XIII. Les principes de la géométrie analytique plane conduisent aisé- 

 ment aux équations du problème proposé ; mais alors l'équation finale 

 est du quatrième degré et complète. Prenant en effet, les deux droites 

 proposées pour axes des x et des y obliques , les coordonnées du point 

 donné seront connues et égales à b ; l'équation de la droite cherchée , 

 passant par ce point, sera donc y —b = n{x ~ b). Posant v = cos 2o 

 et c' = b^ k, l'équation finale en n sera 



„4 _ 2 (l_î,) n' — {k-\-iv — ^]n' — ^{l —v)n-\-l=0. 

 C'est une équation réciproque, que l'on peut résoudre en divisant ses 

 deux membres par n^' et en posant 1 -f- 1 sur n = z; etc. 



Enfin, si x est la portion de l'axe des x entre c et l'ordonnée b, l'équa- 

 tion finale en x est 



j;4 4- 2b {\—v] x'—{c' ^ Jt b' V — ^b^) x'- -\- ^¥ {\— v) X -^- b* = 0. 

 On voit la f^rande influence que peuvent exercet l'inconnue finale et la 

 méthode d'élimination , sur le plus ou moins de facilité , et même sur la 

 possibilité , de résoudre le problème de géométrie numérique proposé. 

 Car si. dans celui qui nous occupe, on prend pour inconnue la seconde 

 partie y de c, troisième côté du triangle dont b elx sont les deux autres 

 côtés, comprenant l'angle 2a; l'équation finale, du 4° degré en y, se ré- 

 soudra par extraction de racine carrée. 



Si le point donné n'était pas situé sur la bissectrice de l'angle des 

 deux axes obliques, mais que son abscisse k fût dififérente de son ordon- 

 née 6, l'équation finale , du A"^' degré en m, ne serait plus réciproque. 

 Dans ce cas, le minimum de la somme m des deux segments x' et y' in- 

 terceptés sur les axes des x et des y, par la droite y — b^n{x—k), 

 réjjond a x' — k = \/ [k b) 



XIV. Soit ÂB = o une tangente en B h la circonférence de rayon r ; 

 on peut construire sur AB les points par lesquels menant des tangentes 

 à la même circonférence, elles divisent en n parties égales à p la perpen- 

 diculaire AH sur AB. Si P est le point de AB, d'oi!» la tangente va inter- 

 cepter sur AH, la partie kW=^pv, on trouve 



(2r — pv) k? = av — apv -i- r \/ (a' — 'ipvr -t- p ^c'). 

 Si donc AH = o = r- np, il vient (2w — r) AP = 2w {n— v) p. 



XV. Connaissant les trois angles A, B , C d'un triangle et le rayon 

 du cercle inscrit, calculer , 1° l'aire du triangle qui joint les points de 



