J. N. Noël. — Propositions de Géométrie appliquée. 223 



contact, 2" le rayon du cercle circonscrit au triangle proposé et l'aire 

 de celui-ci ; 3" l'aire du triangle formé en menant , par les sommets du 

 proposé , des tangentes au cercle circonscrit et le rayon du cercle cir- 

 conscrit à ce troisième triangle; "4" l'airedu triangle formé en menant, par 

 les sommets du troisième triangle, des tangentes au cercle qui lui est circons- 

 crit et le rayon du cercle circonscrit à ce quatrième triangle; ainsi de 

 suite. On peut aussi calculer les périmètres successifs; et si le triangle pro- 

 posé est isocèle ou équilatéral,ilen sera de mêmede tous les autres triangles. 



XVI. Étant donnés trois cercles égaux , se touchant extérieurement 

 deux à deux , décrire , 1° la circonférence qui les enveloppe en les tou- 

 chant (ou qui est enveloppée); 2" les trois cercles égaux , qui touchent 

 extérieurement cette circonférence enveloppante , en se touchant deux 

 à deux ; 3° la circonférence qui enveloppe ces trois derniers cercles, en 

 les touchant; et ainsi de suite, (même problème pour quatre ou six cer- 

 cles égaux). 



XVII. On peut décrire le triangle dont on connaît le côté c , le rayon r 

 du cercle circonscrit et celui r' du cercle inscrit ou celui a' du cercle 

 exinscrit , touchant le prolongement de c. (Chaque fois en supposant le 

 problème résolu, on arrive aisément à sa construction). 



Ce qui est remarquable, c'est que la relation géométrique entre les côtés 

 numériques et une projection, dans les triangles obliquangles, étant 

 appliquée à la figure proposée, fournit deux relations indépendantes des 

 angles et des côtés du triangle cherché. Désignant en eiFet, par M et N 

 les distances du centre du cercle circonscrit à ceux des cercles inscrit et 

 exinscrit proposés , on trouve 



I\P = r (r — 2r) et N'= r{r-{- 2a')- 



Donc si l'un des triangles cherchés existe, il y en aura une infinité à la 



fois inscrits et circonscrits ou excirconscrits aux deux cercles proposés , 



de rayon r et r'ou a\ Il est aisé de voir aussi , par ce qui précède, qu'on a 



a' =(a'— /) (4r-f-r' — o'). 



XVIII. Calculer l'aire du décagone régulier étoile, que forment les 

 diagonales d'un pentagone régulier, dont le côté vaut 100 mètres. On 

 sait que les deux diagonales, partant d'un môme sommet, divisent l'angle 

 108" du pentagone en trois parties égales et que chacune partage une 

 autre diagonale en moyenne extrême raison, la plus grande partie étant 

 longue de 100™ et la plus petite étant le côté du décagone régulier 

 étoile. On sait de plus que les deux premières diagonales interceptent sur 

 la 3", le côté du pentagone régulier, de même centre que les deux autres 

 polygones réguliers (à démontrer chaque fois). 



Longueurs maximums et miniviuvis. 



7. La roclici'clie des maximums et des minimums de certaines gran- 



